19 几何概型含解析高中数学人教B版必修3高二数学试题试卷.docVIP

学业分层测评(十九) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1.下列关于几何概型的说法中，错误的是(　　) A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性 B.几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关 C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 【解析】　几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A. 【答案】　A 2.在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. 【解析】　记M＝“射线OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”.如图所示，作射线OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°. 当OC在∠DOE内时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P(M)＝＝. 【答案】　A 3.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为(　　) A.0.008 B.0.004 C.0.002 D.0.005 【解析】　设问题转化为与体积有关的几何概型求解，概率为＝0.005. 【答案】　D 4.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】　如图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC与△PBC是等高的， 所以事件“△PBC的面积大于”等价于事件“＞”. 即P＝＝. 【答案】　C 5.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝(　　) A. B. C. D. 【解析】　由于满足条件的点P发生的概率为，且点P在边CD上运动，根据图形的对称性当点P在靠近点D的CD边的分点时，EB＝AB(当点P超过点E向点D运动时，PB＞AB).设AB＝x，过点E作EF⊥AB交AB于点F，则BF＝x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝x2，即EF＝x，∴＝. 【答案】　D 二、填空题 6.如图3-3-3，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________. 图3-3-3 【解析】　记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝＝. 【答案】　 7.如图3-3-4，长方体ABCD-A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为________. 图3-3-4 【解析】　设长、宽、高分别为a，b，c，则此点在三棱锥A-A1BD内运动的概率P＝＝. 【答案】　 8.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为________. 【导学号 【解析】　记事件A＝“打篮球”，则P(A)＝＝. 记事件B＝“在家看书”，则P(B)＝－P(A)＝－＝. 故P()＝1－P(B)＝1－＝. 【答案】　 三、解答题 9.(1)在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，过点A作一射线交线段BC于点M，求BM≤AB的概率； (2)在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，在线段BC上取一点M，求BM≤AB的概率. 【解】　(1)记“过点A作一射线交线段BC于点M，使BM≤AB”为事件Ω，由于是过点A作一射线交线段BC于点M，所以射线在∠BAC内是等可能出现的，又当AB＝BM时，∠BAM＝67.5°，所以P(Ω)＝＝＝. (2)设AB＝AC＝1，则BC＝，设“过点A作一射线交线段BC于点M，使BM≤AB”为事件Ω， 则P(Ω)＝＝＝. 10.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率. 【解】　如图，四边形ABCD是长30 m、宽20 m的长方形.图中的阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”. 问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率. ∵S长方形ABCD＝30×20＝600(m2)， S长方形A′B′C′D′＝(30－4)×(20－4)＝416(m2)， ∴S阴影部分＝S长方形ABCD－S长方形A′B′C′D′＝600－416＝184(m2)， 根据几何概型的概率公式，得P(A)＝＝≈0.31. [能力提升] 1.(2016·南昌高一检测)面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点