等差(比)数列性质的灵活应用.docVIP

《等差（比）数列性质的灵活应用》发表在《学习报》2010-2011第10期总第1122期 第2版 2010年9月3日国内统一刊号CN14-00708/(F) 邮发代码：21-79 等差（比）数列性质的灵活应用 特级教师 王新敞 准确理解等差数列的，等差数列的 1．等差数列相关公式及性质 等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d 可以推广到an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) ． 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数．根据通项公式，易得等差数列{an}中若m+n=p+q，则． 等差数列的前n项和公式Sn=或Sn=可以转化为Sn=，当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式．而且等差数列的通项an与前n项和Sn总有关系：an=． 2．等比数列相关公式及性质 等比数列的通项公式an= a1 qn-1 可以推广到an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)．根据通项公式，易得等比数列{an}中，若m+n=p+q，则． 等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q≠1时，Sn= 或Sn=可以转化为 ． 例1 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q . 解: 设等差数列的通项an = a1+(n-1)d (d≠0). 根据题意得 a32 = a2a6 即(a1+2d)2 = (a1+d)(a1+5d), 解得 . 所以 例2在等比数列{an}的前n项中，a1最小，且a1+an=66，a2 an-1=128，前n项和Sn=126, 求n和公比q． 解：∵{an}为等比数列 ∴a1·an=a2·an-1． 由a1·an=128 ， a1+an=66 且 a1最小，得a1=2 ，an=64． ．解得． 解得n=6,∴n=6,q=2． 例3 已知正项等比数列{an}满足条件：① ；② ；求的通项公式． 解：易知 ，， 由已知得 ①， ② ①÷②得 ，即 ，∴ ①×②得 ，即 ， 即，∴，即 ． ∴． 例4 在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,…,an使这n+2个数成等比数列;又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,…,bn使这n+2个数成等差数列. 记An = a1a2a3…an , Bn = b1+b2+b3+…+bn .求数列{An}和{Bn}的通项. 解:∵1,a1,a2,a3,…,an , 2成等比数列, ∴ a1·an = a2·an-1 = … = ak·an-k+1 = …=1×2 = 2 ∴A2n = (a1·an)( a2·an-1)…(ak·an-k+1)…(an-1·a2)(an·a1) = 2n ∴ . ∵1,b1,b2,b3,…,bn ,2成等差数列, ∴ b1+ bn = 1+2 = 3 ， ∴． 等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式联系着五个基本量: a1,d(或q),n,an,Sn.“知三求二”是最基本的运算,充分利用公式建立方程是最基本的思想方法．列举一些项来判断“关系”和“性质”是解决数列问题常用的思路和手段．