张旭东（清华大学）数字信号处理：补充教材3-离散系统和数字滤波器.pdfVIP

第四章 离散系统和数字滤波器 本章首先集中讨论离散系统的表示。研究离散系统的基本分析和设计问题，给出离散系 统实现的基本结构，讨论离散系统实现的几个基本问题，如可实现性，唯一性，逆系统的可 实现性等基本问题，为此也讨论了几种基本系统如：无失真系统、全通系统和最小相位系统。 为了后续数字滤波器的设计，重点研究了一类FIR 系统：线性相位系统。本章还通过直观性 地给出一些实用系统的例子。 4.1 线性时不变系统的表示方法 对于线性时不变离散系统，已经有一些系统的分析和设计方法。首先，对于一个给定的 或待设计的线性时不变系统，要有一种表示方法，用一组数据或一个函数来指定一个系统， 有几种典型的方法表示一个线性时不变系统。这些方法之间相互是有联系的。第二章讨论过 一些系统的表示方法，本节集中地进一步讨论系统的表示问题。 为了表示一个离散LTI 系统，可以由几种不同的方法，它们之间有紧密的关联性。 1．单位抽样响应表示 对于一个离散 LTI 系统，单位抽样响应是其一种表示方式，给出了单位抽样响应h(n) ， 就指定了一个具体的系统，系统的输入和输出之间的关系由卷积和表示，即   y (n) x (n) * h(n) x (k )h(n k ) h(k )x (n k ) （4.1 ） k  k  在系统分析的问题中，当给定了h(n) ，对于任意给出的输入信号x (n) ，求出相应的输出信 号y (n) 。在系统设计问题中，给出一个特定的任务要求，若能求出一个能完成该任务的LTI 系统的单位抽样响应h(n) ，就相当于完成了系统设计。 依据h(n) 的长度，可将LTI 系统分成两大类：有限冲激响应（FIR）和无限冲激响应（IIR） 系统。 FIR 系统：系统的单位抽样响应仅有有限个不为零的值，其他取值都为零，不失一般性， 假设h(n) 不为零的范围为0 n M ，这里，M 是一个有限大小的正整数。 IIR 系统：系统的单位抽样响应有无限多个不为零的值，若系统是是因果的，h(n) 取值 的非零范围是[0, ) ，若系统是非因果的，h(n) 取值的非零范围可能是(, ) 。 对于FIR 系统，可列出全部不为零的单位抽样响应值， ，由这组系数 h(n),0 n M 值可完整地表示该系统，对于给定的输入信号，可由卷积和有效地计算输出信号，即 M y (n) h(k )x (n k ) k 0 （4.2 ） 对于FIR 系统， 是最有效的表示方法。一般地，当需要设计一个具有指定 h(n),0 n M 功能的FIR 系统时，只要求出这组不为零的单位抽样响应值，设计任务即告完成。 对于IIR 系统，由于单位抽样响应非零值个数为无穷，直接用h(n) 表示并不方便，对IIR 系统的更有效的表示是系统函数或差分方程。 2. 系统函数表示 离散LTI 系统的系统函数定义为其单位抽样响应h(n) 的Z 变换  Y (z )  H (z ) h(n)z n （4.3 ） X (z ) n  尽管不是所有可能的离散LTI 系统的系统函数都可以写成有限阶有理分式形式，但大多数或 通过系统设计方法设计出的全部离散LTI 系统的系统函数都可以写成有理分式形式，即 M b z r B (z ) r H (z ) r 0