张旭东（清华大学）数字信号处理：补充教材2-数字频谱分析.pdfVIP

第三章 离散傅里叶变换和数字频谱分析 本章讨论有限长离散序列的正交变换，主要关注离散傅里叶变换 （DFT），详细讨论DFT 的定义和性质，以及DFT 的快速算法：FFT，并着重研究DFT 的一个关键应用：数字频谱分 析。 DFT 及其快速算法FFT 是数字信号处理中最重要的工具之一，应用非常广泛，本章集中 在DFT 的定义和性质、DFT 的快速算法FFT和DFT在频谱分析中的应用，有关DFT在其他方 面的应用，在后续章节陆续介绍，例如第四章介绍DFT在滤波器实现中的应用，第五章介绍 DFT在滤波器设计中的应用，第七章介绍DFT在滤波器组的应用等。 3.1 离散正交变换 假设x (n) 是有限长信号，只有在0 n N 区间内取非零值 （在区间0 n N 有零值 出现，等同为非零值处理），在此区间之外不予定义（一般为了方便，假设该区间之外为零）， 称为N 点有限长序列。对于N 点有限长序列，最多只有N 个非零值，故只有N 个自由度， 因此，可以在N 维空间里完整地表示该信号。在N 维空间里，定义N 个相互正交的基序列 （相当于基矢量），对于0 k N 1，每个基序列为： ak (n) , n 0,1, , N 1 （3.1 ） 每个基序列也只定义在区间0 n N 为了由基序列对有限长序列定义正交变换，要求基 ， 序列满足正交性和完备性。 正交性： N 1 *  （3.2 ） a (n)a  (n) C(k k ) k k n 0 完备性： N 1 *   （3.3 ） a (n)a (n ) C(n n ) k k k 0 C 是一个常数。 由于基序列是正交的，对每个基序列定义一个变换系数T (k) 为： N 1 T (k ) ak (n)x (n) 0 k N 1 （3.4 ） n 0 由完备性，可以证明由全部变换系数T (k) 可以重构有限长信号为： 1 N 1 * x (n) T (k )ak (n) 0 n N 1 （3.5 ） C k 0 * k 0 N 1 为得到 （3.5 ），对 （3.4 ）式两侧同乘ak (m) ，并对 从 至 求和，得到 1 / 61 N 1 N 1 N 1 N 1 N 1 * * * T (k )a (m) a (m) a (n)x (n) x (n) a (n)a (m)      k k k k