张旭东（清华大学）数字信号处理：补充教材1-离散信号与系统基础.pdfVIP

第二章 离散信号与系统基础 本章讨论了研究离散信号和系统所需要的基础知识，是本书最基本的一章。讨论了有关 离散信号的定义、分类和各种表示方法，并深入地研究了离散信号的傅里叶表示和Z 变换表 示；本章也给出了关于离散系统的基本描述，针对线性时不变 （LTI）离散系统给出了更详 细的论述，除了卷积表达式外，也初步介绍了LTI 系统的变换域分析方法和一些基本术语。 本章也讨论了离散 LTI 系统的特征分析，由特征分析导出关于LTI 系统分析的一些重要 概念。 2.1 离散信号与系统 离散信号的由来，可以来自于两个方面，在对实际物理问题的分析和处理时，离散信号 大多是来自于对连续信号的采样，为了表示方便，也为了使离散信号和系统的理论描述更加 简练和统一，在表示均匀理想采样信号时，用整数序号替代采样周期的整数倍，得到“归一 化”表示的离散信号。若x (t) 代表一个连续信号，在采样间隔T 的整数倍时间点采样，得 a s 到离散序列x (nT ) ，为了表达方便，定义离散信号为 a s x (n) x (nT ) （2.1 ） a s 今后，在讨论离散信号处理时，总是以整数序号表示离散信号的自变量，可用n, m, k 等符 号表示。当连续信号的自变量是时间时，更严格的称x (n) 为离散时间信号，本书若不做特 别强调时，就简称为离散信号。 图1. 由连续信号采样获得离散信号示意图 离散信号的另一种由来，来自于对各类实际问题的观察或纪录，这些观察或纪录的数据， 自身就是离散的。例如，某市对一个交通路口车辆的流量纪录，纪录每时间段流过这个路口 的车辆数目，根据应用的不同，时间段可能设置为1 分钟，或1 小时，但不会将时间段设置 为无穷小量以至于纪录随连续时间变化的车流量，从这样的纪录获取的数据，自身就是离散 序列，同样，以整数序号表示纪录的次序，可用x (n) 表示这样的序列。这种来源于社会问 题的离散序列有很多，例如很多经济数据，如股票价格，员工薪资等。 在表示离散信号时，用整数序号会带来理论和算法上的一致性和简单性，在讨论离散算 法自身的发展时，一般忽略离散整数序号增量 “1”所表示的实际时间间隔。但当用离散信 号处理的结果去解释实际问题时，一般需要用这个 “时间间隔”。在对采样信号处理时，这 个“时间间隔”就是采样间隔T ，在处理其他问题时，也存在类似的“采样间隔T ”，例如， s s 上述的车流量纪录序列，“采样间隔T ”可能是1 分钟或1 小时。 s 例 ． 第一个连续信号x (t) sin 10t 2 cos 20t ，用采样间隔T 1/ 100 进行采样， 1 a s 采得连续信号在t nT n / 100 的值，由 （ ）得到离散信号为 2.1 s x (n) xc (t) t nT sin 0.1n 2 cos 0.2n 第二个连续信号 4 ，用采样间隔T 1/ 50000 进 x a 2 (t) sin 5000t 2 cos 10 t s 2 行采样，得到离散信号为 x 2 (n) x a 2 (t) t nTs 2 sin 0.1n 2 cos 0.2n 从这个例子看到，对两个在时域变化速度不同，但结构相同的信号 （均是由两个正