一维单原子点阵的振动.docVIP

例题 4．1 一维单原子点阵的振动 考虑一个一维单原于点阵，设点阵常数为，原子的质量为，力常数为．假如只考虑最近邻原子间的相互作用，试证明： (a)简正模式的色散关系为 (b)波包的群速度为 (c)在长波极限下的色散关系为 其中是声速， 解 (a)参看图4．4．用表示原子s相对于平衡位置sa的位移．点阵的间谐势能为 (1) 作用在原子上的力为 (2) s原子的运动方程为 (3) 如果原于数N足够多，而且不考虑原子链端点的边界效应，我们可以用周期性边界条件，把原于链看成首尾相接的圆环(田4．5)．第0个原子和第N个原子的位移相同． 下面我们寻求运动方程的简正模式解， (5) 周期性边界条件(4)要求 (6) 于是得到 (7) 当波矢K改变2π／a时，由式(5)所定义的位移us是不变的．因此独立的K值只有N个，相应地有N个不同的解(5)．通常，我们把波矢K的值取在第一布里渊区内，即之间．将式(5)形式的试解代人运动方程(3)中，得到 两端消去公因子，得 (8) 如图4．1所示．对于悔一个K值，有一个与之对应．出于独立的K值有N个，独立的解(5)也有N个．但描写原子实际位移的是解(5)的实部或虚部： (9) 原子链的任意运动由N个原子的初始位置和初始速度决定，由于这总可以用式(9)的2N个独立解的线性组合来满足，于是我们就得到了原子链振动问题的全解． (b)沿原子链传播的波具有相速度 (10) 和群速度 (11) 对色散关系式(8)取微商，求得波包的群速度为 (12) 如图4．6所示．在布里渊区边界上，这是由于格波的波矢在布里渊区边界上时，满足了布喇格条件，格波受布喇格反射的结果，形成了驻波，驻波的群速度是零． (c)在长波极限下，，近似有 (13) 是K的线性函数，群速同于相速且均于频率无关， (14) 以上表明，点阵对于长波长的格波就好象连续介质，于是色散关系(8)过渡到式(13)． 4．2 计入第近邻互作用的一维单原于点阵 如果对一维单原子点阵放弃最近邻互作用的假设，考虑到第近邻的互作用，设相应的力常数为，于是一维单原子点阵的简谐势能为 (1) 这里和分别表示第s个原子和第(s+p)个原子相对于平衡价置的位移． (a)证明简正模式的色散关系为 (2) (b)证明长波极限下，其色散关系为 (3) 这里假设是收敛的。 (c) 证明，如果 (1＜m＜3)，求和并不收敛，于是在长波近似下的色散关系为 (4) (提示：不能再用长波条件将式(2)个的正弦函数展开，但可以在长波极限下用积分代替求和．) (d)证明在m＝3的特定情况下， (5) [解] (a) 一维单原子点阵的简谐势能为 于是作用在s原子上的力为 或 (6) s原子的运动方程为 (7) 寻求简正模式解 (8) 将式(8)代入式(7)，得到 两边消去，得 求和中的p是一系列整数，可以为正或负．根据平移对称性的要求，于是上式化为 或 (9) (10) 这就是一维单原子链计入第p近邻互作用的色散关系。 (b)在长波极限下， 于是有 (11) 这里假设了级数是收敛的，于是声速为 (12) (c)如果，1＜m＜3，这时由式(10)有 (13) 由于是发散的(这可以从积分看出)．因而不能将正弦函数作小波矢展开，而必须考虑积分 代替求和 为了计算积分I，令 ， 则有 于是上述积分化为 (14) 其小1＜m＜3． 将积分I改写为下式 积分是一个可以忽略的小量： 于是有 积分是收敛的（见本题注），令其值为A，即 (15) 略去项，得到 即 (d)当m=3时，由式(10)有 (16) 仍令 用积分 替代求和 现考察积分 用分部积分法计算此积分，注意到，当有 用作代换， 利用定积分公式： 其中C＝0…是欧拉常数．于是为 由于，是一个很大的正数，因而可以略去常数，得到 注意到 于是得到对K的函数关系相当于 先证明是收敛的， 显然此积分是收敛的 再注意到 用比值判别法很容易证明此级数对任意均收敛，于是积分 也是收敛的，我们可以今其值为A。 4．3 初基晶胞含有两个原子的一维点阵 考虑一个双原了链，其中两种具有相同质量M的离子交错排列，只考虑近邻原子间的互作用，设力常数分别为Cl和C2． (a)证明简正模式的色散关系是 (b)讨论在下列极限下色散关系的形式