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建筑力学之材料力学第5章(华南理工)
第5章 截面的几何性质 §5-1 静矩和形心 面积A对z轴的静矩: 面积A对y轴的静矩: 若截面形心的坐标为yC、 zC(C为截面形心), 将面积视为 平行力, 即看成是等厚、均质 薄板的重力, 根据合力矩定理: 当截面形心的位置已知时, 用上式可计算静矩。如果截面面 积和静矩, 可由该式来确定形心位置, 即: 显然, 如果 yC=0, zC=0, 则: Sz=0, Sy=0 说明z轴和y轴一定通过该截面的形心。 组合截面: 例5-1 试求图示T形截面的形心位置。 解: 形心一定在对称轴y轴上。 AⅠ=0.072m2, AⅡ=0.08m2 yⅠ=0.46m, yⅡ=0.2m §5-2 惯性矩和惯性积 截面对z轴的惯性矩: 截面对y轴的惯性矩: 截面对坐标原点O的极惯性矩: 显然, 截面对轴的惯性矩与对坐标原 点的极惯性矩之间存在一定的关系, 因为: 所以: 截面对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和, 等于截面对该二 轴交点的极惯性矩。 微面积与其坐标y, z的乘积yzdA称 为微面积dA对z, y二轴的惯性积, 而把 其积分定义为截面对z, y二轴的惯性积: 惯性矩Iz、Iy和惯性积都是对轴来 说的, 同一截面对不同轴的数值不同。 极惯性矩是对点(称极点)来说的, 同一 截面对不同点的数值不同。 其常用单 位为m4。 例5-2 试求图示矩形截面对z轴和y轴的惯 性矩和对z, y轴的惯性积。 解: 先计算对z轴的惯性矩; 同理可得: 下面讨论惯性积: y轴为对称轴, 在y轴两 侧对称位置取相同的微面积dA, 由于处在对 称位置的zydA值大小相等、符号相反, 因此, 该二微面积对z、y轴的惯性矩之和等于零。 将其推广到整个截面, 则有: 例5-3 求图示箱形截面对z轴的惯性矩。 解: 在此题中, A为箱形截面面积, 此面积相当于整个矩形面积A2(b·h)减 去中间部分的面积A1(b1·h1). 根据惯性 矩的定义, 箱形截面对z轴的惯性矩为: 例5-4 求图示圆形截面对圆心O的极惯性矩和对z轴的惯性矩。 解: 取图示的环形面积为微面积, 即: 由于z、y轴通过形心, 所以Iz=Iy, 可得: §5-3 惯性矩的平行移轴定理 主轴和主惯性积 z、y为通过截面形心的一对正交 轴, z1、y1为与z、y平行的另一对正交 轴, 平行轴间的距离分别为a和b,截面 对z、y轴的惯性矩Iz、Iy为已知. 现求 截面对z1、y1轴的惯性矩。 依定义: 因z轴通过截面形心, 故Sz=0, 从而得: 同理, 截面对y1轴的惯性矩为: 一、惯性矩的平行移轴公式 §5-3 惯性矩的平行移轴定理 主轴和主惯性积 一、惯性矩的平行移轴公式 二、主轴和主惯性矩 由惯性积的定义可知, 截面对不 同的一对正交轴的惯性积是不同的, 其值可能为正、也可能为负、还可 能为零。若截面对某一正交坐标轴 的惯性积等于零, 则该正交坐标轴称 为主惯性轴或简称主轴, 截面对主轴 惯性矩称为主惯性矩。 当主轴通过截面形心时, 则称为形心主轴, 或主形心轴, 截面 对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 具有对称轴的截面, 如矩形、工字形等, 其对称轴就是形心主 轴, 对称轴既是主轴, 又通过形心。 §5-4 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面, 这些组合截面有的是由几个简单图 形组成, 有的是由几个型钢截面组成。在计算组合截面对某轴的 惯性矩时, 根据惯性矩的定义, 可分别计算各组成部分对该轴 的惯性矩, 然后再叠加。 例5-5 试求例5-1中截面的形心主惯性矩。 解: 形心位置(例5-1)为 过形心的主轴为z0、y0, z0轴到两 个矩形形心的距离分别为: aⅠ=9.137m aⅡ=0.123m 例5-5 试求例5-1中截面的形心主惯性矩。 解: 形心位置(例5-1)为 过形心的主轴为z0、y0, z0轴到两 个矩形形心的距离分别为: aⅠ=9.137m aⅡ=0.123m 截面对z0轴的惯性矩为两个矩形面积对z0轴的惯性矩之和, 即: 截面对y0轴的惯性矩为: 例5-6 求图示工字形截面对z轴的惯性矩(z为形心主轴)。 解: 方法一: 将工字形截面分成三个矩形, 分别计算每个矩形对z轴的
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