常微分方程§4.2.ppt

* 1. 欧拉法与后退欧拉法 2. 梯形方法 3. 单步法的局部截断误差与阶 4. 改进的欧拉公式 §4.2 简单的数值方法与基本概念 1. 欧拉法与后退欧拉法 　 欧拉法是解初值问题(4.1)的最简单的数值方法． 　导数是差商的极限形式，因此，当步长h不太大时，在点xn处的导数y ?(xn)可以近似地用差商表示． 称为欧拉(Euler)公式． (1) 向前差商 如果用y(xn)的近似值yn代入上式右端，所得的结果作为y(xn?1)的近似值，记为yn?1，则初值问题(4.1)可以化为 称为后退欧拉公式． (2) 向后差商 同(1)的讨论，初值问题(4.1)可以化为 称为中心欧拉公式或欧拉两步公式． (3) 中心差商 同理得相应的差分方程为 　用分段的折线逼近函数，此为“折线法”而非“切线法”，除第一个点是曲线上的切线，其它都不是．基于这种几何意义，欧拉法又称为折线法． 欧拉公式的几何意义 　设y(x)是初值问题(4.1)的解，那么按欧拉公式 所得的数值解y1就是解y ? y(x)在点P0(x0,y0)的切线上的一个点P1(x1,y1)的纵坐标值，而y2则是通过点P1斜率为f (x1, y1)的直线上的一点P2(x2,y2)的纵坐标值．依次类推，这样推得的yn (n=0,1, ?)就取作为初值问题(4.1)在点xn (n=0,1, ?)上的数值解．把点P0 , P1 , ? , Pn , ?连成折线，在几何上这条折线就是解y(x)的近似曲线． 用欧拉法求常微分方程初值问题 例4.1　 解 欧拉公式的具体形式为 算出的准确值y(xn)同近似值yn一起列在下表中，两者相比较可以看出欧拉方法的精度很差． 下面考察欧拉法的精度． 为了分析计算公式的精度，通常可用将y(xn?1)在xn 处泰勒展 开，则有 在yn? y(xn)的前提下，f(xn , yn) ? f(xn , y(xn)) ? y ?(xn)．于是可得欧拉公式的误差 称为欧拉公式的局部截断误差． 也可用数值积分法得离散化的差分方程． 　 将微分方程(4.1)的两端在区间[xn , xn?1]上积分，得 右端积分用左矩形公式hf(xn , y(xn))计算，则得 略去余项，并用yn代替y(xn)， yn?1代替y(xn?1)可得 即为已知的欧拉公式． 如果在(4.4)中右端积分用右矩形公式hf(xn?1 , y(xn?1))近似，同上则可得后退欧拉公式 　后退欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别，后者是关于yn?1的一个直接的计算公式，这类公式称作是显式的；然而公式(4.5)的右端含有未知的yn?1，它实际上是关于yn?1的一个函数方程，这类公式称作是隐式的． 　隐式方程(4.5)通常用迭代法求解，而迭代过程的实质是逐步显示化． 设用欧拉公式 用它代入(4.5)式的右端，使之转化为显式， 直接计算得 如此反复进行得 由于f(x,y)对 y 满足李普希兹条件． (4.6)?(4.5)得 由此可知，只要hL1迭代法(4.6)就收敛到解yn?1 ． 2. 梯形方法 称为梯形公式． 　在等式(4.4)右端积分中若用梯形公式计算，则得 略去余项，并用yn代替y(xn)， yn?1代替y(xn?1)可得 　梯形方法是隐式单步法，可用迭代法求解．同后退欧拉法一样，仍用欧拉法提供迭代初值，则梯形法的迭代公式为 于是有 (4.7)?(4.8)得 式中L为f(x,y)关于 y 的李普希兹常数．如果选取h充分小使得 3. 单步法的局部截断误差与阶 定义4.1 初值问题(4.1)的单步法可用一般形式表示为 其中多元函数?与f(x , y)有关，当?含有yn?1时，方法是隐式的,若不含yn?1则为显式方法，所以显式单步法可表示为 ?(x , y , h)称为增量函数，例如对欧拉法有 设y(x)是初值问题(4.1)的准确解，称 为显式单步法(4.10)在xn?1的局部截断误差． Tn?1 之所以称为局部的，是假设在xn前各步没有误差．当yn?y(xn)时， 计算一步，则有 所以，局部截断误差可理解为用方法(4.10)计算一步的误差，也即公式(4.10)中用准确解y(x)代替数值解产生的公式误差．如由定义，欧拉法的局部截断误差为 定义4.2 设y(x)是初值问题(4.1)的准确解，若存在最大整数 p 使显式单步法(4.10)的局部截断误差满足 则称显式单步法(4.10)具有 p 阶精度． 若将(4.12)展开式写成 则?(xn , y(xn)) hp?1称为局部截断误差主项． 　以上定义对隐式单步法(4.9)也是适用的．例如对后退欧拉公式(4.5)，其局部截断误差为 　同样对梯形公式(4.7)，其局部截断误差为 4. 改进的欧拉公式 　梯形方法虽然提高了精度，但其算法复杂，在应用迭代