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一：假设某保单的损失服从指数分布，概率密度函数为其中，为未知参数，如果该保单过去各年的损失观测值为，求参数的极大似然估 解：利用极大似然估计的方法，可以得到 二：假设某保险业务的累积损失S服从复合泊松分布，泊松参数为20，而每次损失的金额服从均值为100的指数分布，用正态近似求累积损失的99%的分位数。 解： 分位数= 加二、某保单规定的免赔额为20，该保单的损失服从参数为0.2的指数分布，求该保险人对该保险保单的期望赔款。 解： 令为保险人的赔款随机变量 三、假设某公司承保的所有汽车每年发生交通事故的次数都服从泊松分布，而不同汽车的泊松分布参数不同，假设只取两个值（1或2），进一步假设的先验分布为，如果汽车一年内发生4次事故，求该汽车索赔频率的后验分布。 解： +=1.7969 四：假设某险种的损失次数服从参数为0.2的泊松分布，对于一次保险事故，损失为5000元的概率是80%，损失为10000元的概率是20%，请计算保险公司的累积损失的分布 解：为简化计算，假设一个货币单位为5000元， 解： ， 依次类推得其他计算结果如下表 x 0 0.818731 0.818731 1 0.130997 0.949728 2 0.043229 0.992957 3 0.005799 0.998756 4 0.001097 0.999853 5 0.000128 0.999981 6 0.000018 0.999999 五：假设某保险人签发了两份保单A和B，每份保单可能发生的损失额及相应的概率如下表： A B 损失额 概率 损失额 概率 0 0.600 0 0.7 200 0.2 2000 0.3 2000 0.06 20000 0.1 20000 0.04 求累积损失概率。 解：保险公司的累积损失及概率 损失 概率 A的损失 B的损失 A+B的损失 六：假设保险业务在一年内是均匀分布，保险期限为1年，各日历年的已赚保费如下，2000年为200千元，2001年为250千元，2002年为300千元，最近几次的费率调整如下表， 费率调整日期 调整幅度 1998年7月1日 10% 1999年7月1日 8% 2001年7月1日 10% 请计算以该表必威体育精装版的费率水平表示的2000-2003年的已赚保费。 解：如果把1998年生效的相对费率看做是1，则1999年生效的相对费率为1.08,2001年生效的相对费率为，2000年的相对费率为，2001年的相对费率为1.08*12.5%+1.1772*12.5%=1.09215,2002年的相对费率为1.08*12.5%+1.1772*87.5%=1.16505，将所有年费的已赚保费调整到2002年的水平，可得等水平已赚保费为3100*1.1772/1.07+3200*1.1772/1.09215+3500*1.1772/1.16505=10396.28 八：某险种当年的相对费率和保费收入、过去三年的等水平已赚保费和经验损失数据如下表所示，假设A为基础类别，经验数据的可信度为40%，如果整体保费需要上调15%，请计算调整后的相对费率。 经验损失数据 风险类别 当年的相对费率 当年的保费收入 过去三年的等水平已赚保费 过去三年的经验损失 A 1 6000 16000 4800 B 1.2 6500 15000 3500 C 1.3 5500 15000 3200 解：有实际赔付经验可知查表可知 因此完全可信性所需的索赔次数不能小于 又由于每份保单的索赔频率为0.03，所以发生445次索赔所需要的保单数为445/0.03=14848 十、假设某险种的保险期限为1年，新费率的生效日期是2005年7月1日，目标赔付率为60%，如果每年按5%的速度增长，请根据下表计算费率的调整幅度。 经验费率 保单年度 根据当前费率计算的保费 最终赔款 权重 2003 2000 1000 0.3 2004 3000 2000 0.7 解：2003年签发的保单，其赔款平均在2004年1月1日支出。 2005年7月1日签发的保单，其赔款平均在2006年7月1日支出。 因此把2003年的保单年度的最终赔款调整到2006年7月1日得水平即为，同样把2004年保单年度的最终赔款调整到2006年7月1日的水平即为 保单年度 根据当前费率计算的保费 最终赔款 权重 经趋势调整后的最终赔款 经验赔付率 2003 2000 1000 0.3 1129.73 0.5649 2004 3000 2000 0.7 2151.86 0.7173 平均经验赔付率=0.5649*0.3+0.7173*0.7=0.6716