数形结合思想在向量问题求解中的应用.docVIP

精品论文 参考文献 数形结合思想在向量问题求解中的应用 林明霞 　　摘要：新人教A版教材一直坚持从数和形两个方面建构和研究向量。如向量的几何表示，三角形、平行四边行法则让向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又让向量具备数的特征。所以，我们在研究向量问题或用向量解决问题时，应树立数形结合意识，向量是数形结合的载体，要充分挖掘条件的几何意义。本文通过举例说明数形结合思想在求解几类向量问题时的应用。 　　关键词：数形结合；向量；求解；应用 　　一、求解向量的模和角度有关问题 　　例1.已知向量夹角为，且，则 　　分析：这种题目的常见做法是，将两边平方，转化为向量数量积问题。 　　 解：如图1，作，，,则，，设，根据余弦定理可得， 　　得 　　 　　 　　 例2.已知两个单位向量的夹角为，，若，则 　　t= ??　 分析：本题利用数量积知识能算出t的值，然而利用几何法更加一目了然。 　　 解：如图2，作，，即， 　　则点A,B,C三点共线。因为且夹角， 　　所以为正三角形，所以,又， 　　即，所以在中，， 　　OB=1,所以，BC=2,所以t=2. 　　 二、求解向量最值或取值范围问题 　　 例3.(2008.浙江)设是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值等于( ) 　　 A.1 B.2 C . D. 　　 分析：该题将条件展开利用数量积能得到答案，但利用几何法更加简洁。 　　 解：如图3，，， 　　则由题意得又,则 　　点O和点C都在以AB为直径的圆上，所以 　　,故选C。 　　 　　 例4.已知向量，,，则向量与的夹角的取值范围为( ) 　　 A. B. C. D. 　　 分析：本 题若按照一般求角的方法来做很难操作，但是利用几何法非常容易。 　　 解：， 　　则点A在以点C（2,2）为圆心，半径为的 　　圆上。如图4，则当OA 　　与圆C相切时，分别取得最大、最小值。 　　因为,所以 　　所以最大，最小，故选D。 　　 三、求解向量恒成立问题 　　 例5．(2005.浙江)已知，，对任意的,恒有，则( ) 　　 A. B. C. D. 　　 分析：本题采取代数法和几何法都可以解决。代数法是通过将两边平方，转化为关于t的一元二次不等式恒成立问题，计算上容易出错。 　　 解：如图5，，，有恒成立， 　　 即表示点A到向量所在直线的最短距离， 　　 所以有成立，选C 　　 例6.(2013.浙江)设，是边AB上一定点，满足,且对于边AB上任一点P,恒有,则( ) 　　 A. B. C. D. 　　 分析：本题方法多样，但是很多学生无从下手，究其原因是的本质不了解。而大多采用代数方法，计算麻烦。 　　 解：利用公式，则化为, 　　如图6，取BC中点M，则有,即， 　　即点M到直线AB的距离以MP0最短，所以有, 　　取AB中点N，则,所以，所以CB=CA，选D。 　　 向量是数形结合的典范，浙江省高考向量命题的特点越来越关注几何意义的考查，平常教学中，我们应更注重向量几何意义的教学，让学生树立利用数形结合法求解向量问题的意识。 　　 　　作者单位：浙江苍南县钱库高级中学 　　邮政编码：325804