第一章行列式-2行列式的性质.pptVIP

* 第二节 ：行列式的性质 。 行列式的性质除了可以简化高阶行列式的计算外 ，在理论上也是很有意义的 。 假设定理对 n -1 阶行列式成立 , D 为 n 阶时 ，注意到 D 的第 i 行恰好是 性质1 说明行列式行所具有的性质 ,列也一样具有, 反之 ,列所具有的性质 ,行也一样具有 。 性质 2.行列式互换两行(或两列)行列式的值反号 。 证明 ：1) 先证互换相邻两行的情形 。 第 i 行 第 i+1 行 其它行的元素不变 第 i 行 第 i+1 行 2) 再证交换任意两行的情形 。 性质 3 .行列式 D 中若有两行( 或两列 )元素 对应相等 ，则 D = 0 。 推论:行列式 D 中一行(列)元素与另一行(列)对应 元素的代数余子式乘积之和为零 。即 第 i 行 第 k 行 i k 第 i 行 第 k 行 这个行列式 中有两行 相同 将上述推论与行列式展开定理合起来 ，有 下节克莱姆法则的证明要用到这个定理 。 性质 4 · 用数 k 乘行列式 D，等于用数 k 乘 行列式 D 中某一行(或某一列)的每个元素 。 本性质也可以叙述为 ：行列式某行或某列的 公因子可以提到行列式的外面 。 第 i 行 性质 5 · 若行列式 D 中有两行( 或两列 ) 的元素对应成比例 ，则 D = 0 。 证明 ：由性质 3 ，4 可得 。—— 略 。 性质 6 ·（行列式按某行或列分解） 第 i 行 本性质 对列 也成立 称为将 D 按第 i 行分解为两个行列式之和 。 第 i 行 第 k 行 这条性质在行列式的计算中用的最多 。 下面通过几个例子看行列式计算常用方法 。 所以 D = 3 ×D1 = – 12 。 D1 还有另一种算法 , 观察 D1 发现 , 对角线以下的元素具有性质 ： 第 1 行加第 2 行等于第 3 行的元素 ， 第 1 行加第 3 行等于第 4 行的元素 。可利用！ 例 3 . 计算 n 阶行列式 解：将第一行乘 (–1) 加到其余各行上 ，得 按第一列分解 第 i 列乘1／a i 加到第 1 列上 ， i = 2 , 3 …. n 。 * *