第4章稳定性和李雅普诺夫方法.pptVIP

状态向量范数 为状态向量端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为“状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式为： 4.2 李雅普诺夫判稳第一方法 李氏第一法判稳思路： （间接法） 1、线性定常系统——特征值判断 2、非线性系统——首先线性化，然后用线性化系统的特征值判断 4.3 李雅普诺夫判稳第二方法 1）如果系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即 。那么随着系统的运动，其贮存的能量将随时间增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。 3 ）虚 构一个广义能量函数，称为李雅普诺夫函数（李氏函数），根据它和它的一阶导数的正负来判断系统稳定性。 判据1：设系统的状态方程为 为其平衡状态， 如果有连续一阶偏导 数的标量函数 存在，并且满足以下条件： 1） 是正定的。 2） 是负定的。 则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着 ，有 ，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 判据2：设系统的状态方程为 为其唯一的平衡状态， 如果有连续一阶偏导数的标量函数 存在，并且满足： 1） 是正定的。 2） 是半负定的。 3）对任意初始时刻 时的任意状态 ，在 时，除了在 时有 外， 不恒等于零。 则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。 一、线性定常连续系统的稳定性分析 目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 的稳定性 且标量函数 就是系统的一个 李氏函数。 判据4：线性连续定常系统： 在平衡状态 处渐近稳定的充要条 件是：给定一个正定实对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P，使满足： （注：线性定常系统，可以通过判断A的特征值是否全部具有负实部，即可以判别其稳定性。） 应用定理判稳步骤： 。 ，取 设 。 ，通常 确定系统的平衡状态 I Q Px x x V x x T e e = = = ) ( ) 2 ( 0 ) 1 ( - = + 。 ，求出 由 P I PA P A T ) 3 ( 1）因为正定实对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终判断结果和Q的不同形式选择无关，所以通常取 。 2）该定理阐述的条件，是充分且必要的。 3）如果 除了在 时有 外， 不恒等于零, 则由上一节判据2可知，Q可 取做半正定。为计算简单，此时Q可取作如下矩阵： 李雅普诺夫函数说明： 1）李氏函数是一个标量函数，且为正定，其一阶导数为(半)负定。 连续一阶偏导，反映能量变化速度的大小，负值为能量减少。 2 ）对于给定系统，如果存在李氏函数，它不是唯一的。用第二法判稳时，找到一个李氏函数就可以。 3 ）李氏函数最简单形式是二次型 ，P是正定实对称方阵。 一、标量函数V(x)的符号性质 标量函数V(x)： 1）正定性：当且仅当x=0时，才有 ；对任意非零X，恒有 ，则 为正定。 2）负定性：当仅当X=0时，才有 ；对任意非零X, 恒有 ，