统计4.2_区间估计.pptVIP

第四章 参数估计 LOGO 第四章 参数估计 概率统计基础 （Ⅱ） 2009年4月 山西大学数学科学学院 * 第四章 参数估计 §4.3 区间估计 * 山西大学数学科学学院 第四章 参数估计 §4.3.1 置信区间与置信度 §4.3.2 单正态总体均值的区间估计及置信区间 §4.3.3 单正态总体方差的区间估计及置信区间 §4.3.4 大样本置信区间 §4.3.5 两正态总体均值差的置信区间 §4.3.6 两正态总体方差比的置信区间 如果 是未知参数?的一个点估计，那么一旦获得样本的观测值，估计值就能给人们一个明确的数量概念，非常直观。但其缺陷是不能给出估计的精确度和误差的范围。 为了弥补这一不足，人们提出了另一种估计方法——区间估计。区间估计要求根据样本给出未知参数的一个范围，并保证参数的真值以指定的较大的概率属于这个范围。 点估计的特点 山西大学数学科学学院 * 第四章 参数估计 §4.3.1 置信区间与置信水平 山西大学数学科学学院 * 第四章 参数估计 设总体X含有一个待定的未知参数?. 如果我们从样本x1,x2, ???? xn 出发, 找出两个统计量?1= ?1 (x1,x2, ???? xn)与?2= ?2 (x1,x2, ???? xn),(?1 ?2), 使得区间[?1,?2]以1-?(0?1)的概率包含这个待估参数?,即 那么称随机区间[?1,?2]是?的一个置信度为1- ?的置信区间. 置信度也称作置信水平. 说明： 第四章 参数估计 * 山西大学数学科学学院 总体的参数?虽然未知，但它是某个常数，而样本是随机抽取的，每次取得的样本值x1,x2, ???? xn也不尽相同，由此确定的区间[?1,?2]是随机的，每个这样的区间可能包含也可能不包含? 的真值。置信度1-?是给出区间[?1,?2]包含真值? 的可靠程度，而?表示区间[?1,?2]不包含真值? 的可能性大小。例如, ?=0.05, 则置信度为0.95，这时重复抽样100次，则在得到的100个区间中包含? 真值的有95个左右，不包含? 真值的仅有5个左右。通常在生产和科研中往往取95%的置信度，也取99%或90%的置信度。一般来说，在样本容量一定的情况下，置信度越高，置信区间就越长，换句话说，希望置信区间的可靠性越大，估计的范围也就越大，反之亦然。 例： 第四章 参数估计 * 山西大学数学科学学院 设总体X~N(?? ? 2)? ? 2已知? ?未知? (X1? ???? Xn)为来自X的样本? 试求?的1??置信区间? 枢轴量 求未知参数?的置信区间的一般步骤 第四章 参数估计 * 山西大学数学科学学院 以下讨论单个正态总体的两个参数的区间估计 §4.3.2 单正态总体均值的区间估计 第四章 参数估计 * 山西大学数学科学学院 (1)方差? 2已知的情形 根据上例 ? 在? 2已知的条件下? ?的1??置信区间为 （1） 例： 第四章 参数估计 * 山西大学数学科学学院 已知幼儿的身高在正常情况下服从正态分布. 现从某一幼儿园5岁到6岁的幼儿中随机地抽查了9人, 其高度分别为115, 120, 131, 115,109, 115, 115, 105, 110 cm。假设5至6岁幼儿身高总体的标准差?=7, 在置信度为95%的条件下, 试求出总体均值?的置信区间. 解:已知?0=7,n=9,?=0.05.由样本算得 由正态分布数值表知由(1)式知, ?在置信度为95%下的置信区间为 §4.3.2 单正态总体均值的区间估计 第四章 参数估计 * 山西大学数学科学学院 (2)方差? 2未知的情形 在? 2未知的情况下? ?的1??置信区间为 （2） 当总体方差未知时，我们需要用样本方差来代替，根据下式即得。 从刚生产出的一大堆钢珠中随机抽取10个, 测量它们的直径(单位:mm), 并求得其样本均值 样本方差s2=0.252. 试求置信度为95%的?的置信区间. (假设钢珠直径 X? N(?,?2)) 解 已知n=10,?=0.05,由t分布数值表知t(9,0.05)=2.262. 由(2)式知, ?在置信度为95%下的置信区间为： 山西大学数学科学学院 * 第四章 参数估计 例 §4.3.3 单正态总体方差的区间估计 第四章 参数估计 * 山西大学数学科学学院 在?未知时? ? 2的1??置信区间为 （3） 标准差?的1??置信区间为 试求上例中?2的置信区间, 置信度为95%. 解 已知n=10,?=0