函数的单调性 - 2011届高三数学预学案.docVIP

2011届高三数学预学案 函数的单调性 姓名______________ 【重点、难点】 领会函数单调性的实质，明确函数的单调性研究的是函数的局部性质；能运用函数的单调性的定义证明或讨论函数的单调性；领会函数最值的含义，它是函数的整体性质，会利用函数的单调性求函数的最值. 【考点概述】 1、理解函数的单调性、最值及其几何意义； 2、理解函数单调性的定义，掌握函数单调性的判定与证明，能利用函数的单调性解决相关问题. 【知识梳理】 1、增函数和减函数 一般地，设函数的定义域为： 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是 （如图（1）所示）； 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是 （如图（2）所示）. 2、函数的单调性 如果一个函数在某个区间上是 或 ，就说这个函数在这个区间上具有 （区间称为 ）. 3、最大值与最小值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1）对于任意的，都有 ； （2）存在，使得 ，那么我们就称是函数在区间上的最大值； 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1）对于任意的，都有 ； （2）存在，使得 ，那么我们就称是函数在区间上的最小值. 4、判断函数单调性的方法 （1）定义法：利用函数单调性的定义进行证明； （2）利用函数的运算性质：设为增函数，则 ①为增函数； ②为减函数（）； ③为增函数（）； ④为减函数； ⑤为增函数（）. （3）利用复合函数的关系判断单调性： 如果两个函数的单调性相同，则它们复合的函数为 函数； 如果两个函数的单调性不同，则它们复合的函数为 函数. （4）图象法： （5）奇函数在两个对称的区间上具有 的单调性； 偶函数在两个对称的区间上具有 的单调性. （6）导数法： ①若在某个区间内可导，当时，为 函数； 当时，为 函数. ②若在某个区间内可导，当在该区间上递增时，则 ； 当在该区间上递减时，则 . 【基础训练】 1、已知函数在是增函数，则实数的范围是 . 2、函数的单调递减区间是 . 3、已知函数是上的减函数，则满足的实数的取值范围是 . 4、函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则 . 5、若函数是上的减函数，则实数的取值范围是 . 【例题选讲】 例题1、 已知函数. （1）当时，求的最大值； （2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数. 例题2、 已知函数. （1）用函数单调性的定义证明在上的单调递增函数； （2）若的定义域、值域都是，求实数的值. 例题3、 已知函数和的图象关于原点对称，且. （1）求函数的解析式； （2）若在上是增函数，求实数的范围. 例题4、 已知函数的定义域为且，对定义域内的任意都有，且当时，.求证： （1）是偶函数； （2）在是增函数. 【巩固练习】 1、如果函数在区间是减函数，则实数的取值范围是 . 2、已知函数在区间上是减函数，则与的大小关系是 . 3、函数在上为减函数，则实数的取值范围是 . 4、已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 . 5、函数的单调递减区间是____________. 6、函数的单调递增区间是 7、已知定义在上的函数满足：①；②当时，；③对任意，都有. （1）求证：，且对任意时，； （2）求证：在上是单调递增函数； （3）求不等式的解集. 8、已知，函数在上是一个单调函数： （1）试问函数在的条件下，在上能否是单调递减函数？请说明理由； （2）若在区间上是单调递增函数，试求实数的取值范围； （3）设求证：。 3 y x O y x O 图（1） 图（2）