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函数与导数专题分析 漳州普教室 许耀德 函数与导数专题，是中学数学中最重要的主干知识，其观点及其思想方法，贯穿整个高中数学教学的全过程，是历年来高考考查力度最大的主干知识。 《考纲》对本专题的考查内容及要求除了理科多了“能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数”及“①.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。②.了解微积分的基本定理的含义。”外，其余要求文理两科相同。因此，从《考纲》要求来讲，理科要求高于文科要求。历年来高考对本专题考查涉及到所有题型（选择，填空，解答）。除了单独考查函数与导数的题目外，往往在每个题目上涉及函数与其他内容的综合考查。在解答题方面，函数与导数往往作为压轴题出现。因此本专题的高考复习必须给予足够的重视。 一.2010年高考“课标卷”对本专题的考查情况 [1] 在2010年高考中，全国“课标卷”对本专题知识点考查情况如下： 函数概念及新定义概念被考查频率为6；函数图象被考查频率为11；单调性被考查频率为20；奇偶性被考查频率为6；指数函数被考查频率为18；对数函数被考查频率为20；幂函数为9；一次函数为7；二次函数为19；反比例函数为4；函数与方程为9；函数模型应用为5；导数几何意义为8；导数的应用为22；导数的运算为3；定积分为4。 与本专题联合考查的其他专题的主要知识点情况如下：与逻辑用语联合考查频率为6；数列为3；不等式解法为10；不等式证明为15，曲线的切线方程为8；图形的平移与对称为6；合情推理为2；三角函数与向量为3；几何概型与随机模拟实验为1。 从这些数据不难看出，本专题几乎所有知识都被考查到。重点考查内容有：指.对数函数，幂函数，二次函数，单调性，导数的应用。被联合考查的其他专题的知识点主要有：逻辑用语，数列，不等式解法及证明，解析几何中的曲线的切线方程，定值问题，图形平移与对称，合情推理，三角函数与向量，几何概型与随机实验等。其中重点是不等式，尤其是不等式的恒成立问题时参数取值范围及最值问题。考题注重函数与导数的综合应用，在数学思想方法上作较深入的考查。涉及的基本数学方法有：建模法，消元法，代入法，图象法， 坐标法，比较法，配方法，待定系数法，公式法，换元法，因式分解，平移等。涉及的主要数学思想有函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想，分类与整合思想，整体思想，极端化思想，建模思想。 在每套“课标卷”中，有关本专题内容试题所占比重都较大。一般在24分的分值左右，如果含联合考查知识点，一般都在50分左右，如我省理科2010年卷，本专题内容有2道选择+1道填空+1道解答，分值28分，如果含联合考查知识点有51分。 二、主要题型分析 例1（2010福建理4）函数 的零点个数为（ ） A、0 B、1 C、2 D、3 分析：作出的图象示意图，立马选C 例2（2010福建理10）对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数 （为常数），对位给的正数m，存在相应的,使得当，且时总有，则称直线：为曲线与的“分渐近线”。给的定义域均为的四组函数如下： 1、 2、 3、 4、 其中曲线与存在“分渐近线”的是 A、① ④ B、② ③ C、 ② ④ D、③ ④ 分析：题目条件涵义是： 必须满足且 其中 注意到： ，，满足要求 ， 满足要求，故选C 例3（2010福建理15）已知定义域（0，）的函数满足：对任意恒有成立，当时，给出如下结论：对任意，有；函数的值域为，③存在，④“函数”的充要条件是“存在”其中所有正确结论的序号是 。 分析：由，易得，从而知除③不正确外，其余均正确。 例4（2010 全国课标卷理13）设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数和由此得到N个点（）（=1，2，……N），在数为其中满足的点数，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为 分析：的意义。为计算由曲线，由x=0，x=1及x轴围成的曲边形的面积，此面积含于正方形中，根据几何概型含义得，即。 例5、（2010江苏20）设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质. (1)设函数，其中为实数 ①求证：函数具有性质 ②求函数的单调区间 (2)已知函数具有性质，给定 ，，且，若||||,求的取值范围 分析：（1）①，显然具有性质P（b）。 ②求的零点，自然得到讨论b：三种情况。 （2）由条件，易知，，故