概率实验报告5.docVIP

数学实验报告 实验序号：5 日期：2012 年4 月 29 日 班级 10级B班 姓名 李青松 学号 104080127 实验 名称 用Monte-Carlo方法计算定积分(随机投点法和平均值法) 问题的背景： 不少统计问题,如计算概率，各阶矩等,最后都归结为定积分的近似计算问题(特别是高维积分).这一方法是求解数学物理,工程技术及经济管理近似的数值常用方法. 实验目的： 1. 学习和掌握Excel的有关命令. 2. 进一歩理解大数定律. 3. 掌握随机模拟的思路. 4. 比较两种方法的精度.(n=100,1000,10000) 实验原理与数学模型： （1） 随机投点法 设 其中在[0，1]上连续，且有. 设服从[0,1;0,1]上的均匀分布，则可知服从[0,1]上的均匀分布，且独立.因为 所以，定积分的值就是事件的概率.这样，根据大数定律，我们可以用频率来近似概率. 具体做法如下：先产生2上均匀的随机数：.然后 的次数，最后的估计值，即 注：为了计算一般的定积分，我们可以这样来解决.设 其中有界，不妨设. 令 则有 我们只要求即可. （2） 平均值法 设 其中在[0，1]上连续. 设服从[0,1]上的均匀分布，则的数学期望为 所以估计的值就是估计的数学期望的值.由辛钦大数定律，可以用的观察值的平均值去估计的数学期望.具体做法如下：先产生上均匀的随机数：.然后对每个计算，最后的估计值，即。 实验所用软件及版本： Microsoft Excel 2003 主要内容(要点): (1)用随机投点法和平均值法计算定积分: (2)分别比较两种方法的精度(n=100，1000，100000)。 实验过程：（含解决方法和基本步骤，主要程序清单及异常情况记录等） 问题1（随机投点法）：估计定积分 令 当. （1）从主菜单中选择【工具|数据分析】，在【数据分析】对话框中滚动列表框，选择“随机数发生器”选项，如图5－1 图5-1 （2）重复两次可得100对随机数，作变换，然后进行比较，如图5－2，最后进行数数，得. 图5-2 估计定积分 下面我们估计，从上面不难得到，所以 ＝3.039. 问题2（平均值法）：估计定积分 令 . 由上表可以算得：＝0.401 估计定积分 因为所以我们首先产生 （－1，1）的均匀随机数.其它类似. 如图5－3. 图5-3 所以，。 从上述结果可以看出，还存在误差，必须加大容量. 我们可以用上述方法比较n=1000，n=10000 实验结果与实验总结(体会)： 实验真实值J1=0.418023 100 1000 10000 投点法 0.420 0.416 0.408 平均值法 0.419 0.413 0.418 从实验的结果看由于实验的随机性，实验结果与真实值还存在一定的误差，我们可以通过加大实验的容量来缩小实验误差。 3.0771 3.1677 3.0703 3.0859 3.1340 实验体会：通过前面几个实验，现在对Microsoft Excel 2003的使用有了很大提高，能用它解决我们数学中的许多概率问题。当然由于软件里有很多的菜单，自己还不是很熟悉，相信通过自己的努力，会掌握其重要的要领。 进一步讨论或展望: 用Microsoft Excel 2003来计算积分，使得一些难以用笔操作的数学积分简单化，这样既缩短了人工花费的时间，又用计算机代替人计算繁重的积分减少课程量。所以用这种方法计算复杂的函数将得到广泛的应用。 教师评语与成绩： 次 数 方 法