剖析导数几何意义运算中的常见错误.docVIP

精品论文 参考文献 剖析导数几何意义运算中的常见错误 河南三门峡市一中 付娟 命题规律 导数是近几年高考必考的热点，主要以解答题形式出现，求切线的斜率属中档拿分题． 导数的几何意义. 函数y=f(x) 在x-x0 处的导数f(x0) 的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0) 处的切线的斜率，即. 曲线y=f(x) 在点 p（x0,f(x0)） 处的切线的斜率是f(x0) .相应地， 切线方程为 y-f(x0)=f(xo)(x-xo) 一、切点位置的确定有误 例1 求抛物线y=x2 的过点p(5/2,6) 的切线方程. 错解 错因分析：点 p(5/2,6) 并不在抛物线y=x2 上，故应先设出切点，求切点的坐标， 再求斜率，用点斜式写出其方程． 正解：由题知y=2x ，设切点坐标为(xo,x2o) ， 所以切线的斜率 其切线方程为 又因为此切线过点(5/2,6) ， 所以 即 即切点坐标为 (2,4)(3,9) 所以切线方程分别为 y-4=4(x-2),y-9=6(x-3) 化简得 4x-y-4=0,6x-y-9=0 此即是所求的切线方程． 例2 求过点p(1,0) 且与曲线 相切的直线的方程． 错解 由题意知点p(1,0) 在曲线上. 因为 ，所以 f(1)=2. 所以切线方程为 y-0=2(x-1），即2x-y-2=0 . 正解 设切点为，则过该点的切线方程为 由切线过点p(1,0) 得：， 整理得 解得 所以切线方程为 错因分析 点p(1,0) 虽然在曲线上，但不一定是切点，解题时把点p（1,0） 当作切点显然是错误的.求曲线的切线方程时，应注意两种“说法”：（1）曲线在点 处的切线方程（一定是以点p 为切点）；（2）曲线过点p 得切线方程（无论点p 是否在曲线上，点p 都不一定是切点）． 二、对切线的定义理解有误 例3 已知曲线 c:，曲线c 在点 p(2,4)处的切线方程为y=4x-4 ， 试分析切线与曲线c 是否还有其他公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由． 错解 由于直线 y=4x-4与曲线相切，因此除切点 p(2,4)外没有其他的公共点． 错因分析 “切线与曲线有唯一公共点”，此说法对圆、椭圆这一类特殊曲线是成立的， 但??一般曲线不一定成立． 正解 由消去y 整理得：x3-12+16 ， 即 (x-2)(x2+2x-8)=0 所以(x-2)2(x+4)=0 ，解得 x=2或x=-4 所以交点的坐标为 (2,4)(-4,-20)， 所以该切线与曲线的公共点除了切点(2,4) 外还有点 (-4,-20).