第二章 概率统计之随机变量.pptVIP

则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度 函数，简称为概率密度 . 一、 连续型随机变量及其概率密度的定义 有 ,使得对任意实数 , 对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 f (x) , 连续型随机变量的分布函数在 上连续 二、概率密度的性质 1 o 2 o f (x) x o 面积为1 这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r .v X 的 概率密度的充要条件 利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 x2 ) , 若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有 要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度. f (x) x o a (1) 连续型r.v取任一指定实数值a 的概率均为0. 即 这是因为 请注意: 当 时 得到 [注意} 在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间。例如有 P{aX≤b}＝P{a≤X≤b}=P{aXb。 在这里，事件{X=a)并非不可能事件，但有P{X＝a}=0． 这就是说，若A是不可能事件，则有P(A)=0；反之，若P(A)＝0，并不一定意味着A是不可能事件。 以后当我们提到一个随机变量X的“概率分布”时，指的是它的分布函数；或者，当X是连续型时指的是它的概率密度，当X是离散型时指的是它的分布律。 1. 均匀分布 则称X在区间( a, b)上服从均匀分布， X ～ U(a, b) 三、三种重要的连续型随机变量 若 r .v X的概率密度为： 记作 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等. 均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差； 例2 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率. 解 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 以7:00为起点0，以分为单位 “重复”是指这 n 次试验中P(A)= p 保持不变. 将伯努利试验E独立地重复地进行n次 ,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验 . “独立”是指各 次试验的结果互不影响 . 用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则 易证： （1） 称 r.v X 服从参数为n和p的二项分布，记作 X~b(n,p) （2） 例6 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回 地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验 的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数， 于是，所求概率为： 则 X ~ b(3,0.05)， 若将本例中的“有放回”改为”无放回”, 那么各次试验条件就不同了, 此试验就不是伯努利试验 . 此时, 只能用古典概型求解. 请注意： 伯努利试验对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同； 二项分布描述的是n重伯努利试验中事件 A 出现的次数 X 的分布律 . （2）每次试验只考虑两个互逆结果 A 或 ， （3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 且 P(A)=p ， ； 例7 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率. 解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 . X ~ b (3, 0.8)， 把观察一个灯泡的使用 时数看作一次试验, “使用到1000小时已坏” 视为事件A .每次试验, A 出现的概率为0.8 P{X 1} =P{X=0}+P{X=1} =(0.2)3+3(0.8)(0.2)2 =0.104 3. 泊松分布 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为： 其中 0 是常数,则称 X 服从参数为 的 泊松分布,记作X~π( ). 例8 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商