第九章 矩阵位移法2.pptVIP

* ? §9-3 单元刚度矩阵(整体坐标系) e x y X1 Y1 X2 Y2 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 坐标转换矩阵 单元杆端力的转换式、单刚的转换式 一、单元坐标转换矩阵 * 正交矩阵 [T]-1 =[T]T 或 [T][T]T=[T]T [T] =[I] 于是可以有 同理可以有 e e e e e e ? ? * （解决 与[k] 的关系） e e 在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为： e e e 在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式可以表达为： (a) e e e {F} =[k] {?} (b) e {F} =[T]T [T] {?} e e (d) k [T] {F} = e [T] {?} (c) e k e [k] = [T]T k e [T] e (e) [k] e 的性质与 e k 一样。 二、整体座标系中的单元刚度矩阵 （a）式可转换为： 两边前乘[T]T 比较式(b)和(d)可得： 对于平面刚架单元，整体坐标系中的单元刚度矩阵为 式中： * 例1. 试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵[k] 。设 和 杆的杆长和截面尺寸相同。 1 l = 5m l = 5m 2 x y l=5m，b?h=0.5m ?1m, A=0.5m2, I= m4, 1 24 解: (1) 局部座标系中的单元刚度矩阵 (2) 整体座标系中的单元刚度矩阵 e [k] k e 单元 1 ：? = 0，[T] =[I] k 1 = 1 [k] 单元 2 ：? = 90，单元 座标转换矩阵为 1 2 k = ? k ? * 1 l = 5m l = 5m 2 x y 单元 2 ：? = 90，单元座标转换矩阵为 [k] = [T]T k [T] * §9-4 连续梁的整体刚度矩阵 按传统的位移法 i1 i2 1 2 ?1 4i1?1 2i1?1 0 i1 i2 1 2 ?2 2i1?2 2i2?2 (4i1+4i2)?2 i1 i2 1 2 ?3 0 2i2?3 4i2?3 每个结点位 移对{F}的单 独贡献 F1 F2 F3 4i1 2i1 0 2i1 4i1+4i2 2i2 0 2i2 4i2 ?1 ?2 ?3 = {F}=[K]{?} 根据每个结点位移对附加约束上的约束力{F}的贡献大小进行叠加而计算所得。 传统位移法 * 一、 单元集成法的力学模型和基本概念 分别考虑每个单元对{F}的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成 i1 i2 1 2 ?1 ?2 ?3 F3 {F} 1 = [ F1 1 F2 1 1 ]T F1 1 F2 1 F3 1 令 i2 =0，则 F3 1 =0 [k] = 4i1 2i1 4i1 2i1 1 F1 1 F2 1 = 4i1 2i1 4i1 2i1 ?1 ?2 （a） （b） F1 1 F2 1 F3 1 = 4i1 2i1 4i1 2i1 0 0 0 0 0 ?1 ?2 ?3 1 [K] {?} {F} = 1 [K] = 1 4i1 2i1 4i1 2i1 0 0 0 0 0 单元 1 的贡献矩阵 单元 1 对结点力{F}的贡献 略去其它单元的贡献。 * i1 i2 1 2 ?1 ?2 ?3 F1 2 F2 2 F3 2 [k] = 4i2 2i2 4i2 2i2 2 F1 2 F2 2 F3 2 = 4i2 2i2 4i2 2i2 0 0 0 0 0 ?1 ?2 ?3 2 [K] {?} {F} = 2 设 i1 =0，则 F1 2 =0 [K] = 2 4i2 2i2 4i2 2i2 0 0 0 0 0 单元 ? 的贡献矩阵 F3 {F} 2 = [ F1 2 F2 2 2 ]T 单元?对结点力{F}的贡献 略去单元?的贡献。 * 1 [K] {?} {F} = 1 [K] = 1 4i1 2i1 4i1 2i1 0 0 0 0 0 2 [K] {?} {F} = 2 [K] = 2 4i2 2i2 4i2 2i2 0 0 0 0 0 i1 i2 1 2 1 2 1 2 [K]=（[K] +[K] ）= 1 2 e e [k] [K] [K] e e {F}={F} +{F} =（[K] +[K] ）{?} {F}=[K]{?} 整体刚度矩阵为： 单元集成法求整体刚度矩阵步骤： 根据单元?和单元?分别对结点力{F}的贡献，可得整体刚度方程： [k] e * [k] = 4i1 2i1 4i1 2i1 1 [K] = 1