112瞬时变化率导数(第一课时).docVIP

1.1.2瞬时变化率—导数（第一课时） 扬大附中 高建国 教学目标： 1、感受曲线上某点切线斜率的实际背景，经历运用数学探索、描述和刻画现实世界的过程．体验数学中的极限思想。 2、理解曲线上某点切线斜率的几何与代数意义，掌握求曲线的切线的方法，为后续建立导数的数学模型提供丰富的背景与理论基础． 教学重点： 理解曲线上某点切线斜率的几何与代数意义，求曲线的切线斜率的方法 教学方法：本节是新授课，故采用探究发现法，通过创设问题情境，使学生在老师引导下，积极主动去探求新知识，解决新问题，考虑到“让每位学生都能获得有用的数学知识”，在技能训练上，从练习到例题讲解，采取分层递进的教学方式。 教学过程 一、问题情境 1．情境：●如图一，光线射到光滑的直线上P点，那么光线将如何反射？ 如图二，光线射到光滑的曲线上P点，那么光线又将如何反射？ 图一 图二 2．问题：（1）能不能将问题2向问题1转化，即“化曲为直”？ （2）曲线上点P处的变化趋势怎样？ （3）怎样找到曲线上点P处最逼近曲线的直线？ 二、学生活动与师生互动 注意学生活动的方向可能有： 1．若将P点处附近曲线放大到一定程度，曲线几乎成了“直线”，由此联想到可借助该“直线”来代替曲线从而作出反射光线。 2．要想较精确的作出该直线，可以用“割线逼近”的方法得到切线 3．可以借助割线斜率来逼近切线斜率来量化这一过程。 设计意图：新课标最重要的理念就是 ，数学学习内容要与学生熟悉的生活有关，要通过具体的问题情景引出数学问题，要经历解决数学问题的过程并注重这个过程。基于此，采用了切线问题的一个物理背景问题，并以此展开讨论。 三、建构数学 感知：已知f(x)=x2,点P（2，4），若分别取点Q（3，9），R（2.5，2.25）来逼近过P的切线，可以发现，当所取点越接近点P，对应割线越接近过P的切线 2．曲线的切线 如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线 c 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ最逼近的某一位置PT我们就把该位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线 3.确定曲线c在点处的切线斜率的方法： 割线PQ 最逼近的某一位置的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率就无限趋近于切线PQ的斜率即k= 3例子： 回到引入时的图二中，从数和形两方面对切线进行意义建构． 设计意图：不要过早“形式化”，要先通过具体情景，从直观、实验与应用入手，通过思考、归纳出想法，找到问题，然后再“适度形式化”，同时避免对极限思想的过多渲染。 四、课堂练习 练习1、3、4（第60页）由学生思考后交流各自所完成情况，学生在讨论、交流中加深对切线的理解．再提出下面的让学生讨论． 求已知曲线某点的切线斜率的流程是什么？设点——列式——取极限值 五、数学应用 第一阶段：（巩固）例1求曲线f(x)=x3+2x+1在点(1，4)处的切线方程. 解:设P（1，4）Q（1+，） k= ∴切线的方程为y－4=5(x－1)， 即y=5x－1 小结：求斜率关键在于对k的变形（因式分解，约分等） 第二阶段：（提高）例2求曲线y=sinx在点()处的切线方程. 解：设P（1，4）Q（1+，） 则k= ∴切线方程是， 即 小结：对三角函数的变形关键在于三角恒等变形（和、差公式，倍角公式等） 第三阶段：例3： y=x3在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标. 解：设点P的坐标(x0，x03) ∴斜率3= ∴3x02=3，x0=±1 ∴P点的坐标是(1，1)或(－1，－1) 小结：例1的变式，对斜率的求法的灵活应用。 设计意图：三个例题从简单应用过渡到灵活应用，难度设计呈螺旋式上升，旨在让学生逐步深入理解并掌握切线斜率求法这一重要技能，巩固“双基”。 六、回顾小结 将光线在曲线上反射的问题转化为直线上反射问题，体现了化归的数学一般处理思想。 由曲线的切线的实际意义到数学意义，体现了实际问题数学化的过程，也蕴含着数学的初步极限思想 （3 ） 切线斜率求法过程较复杂，代数要求比较高，有待进一步一般化，公式化．随之而来的便是新的数学概念与公式的建立． 七、课外作业 课本第65页习题3.1第1、3、4、10题．