8.浙江省数学竞赛模拟题(四)答案.docVIP

浙江省数学竞赛模拟题（四） 班级__________ 姓名__________ 选择题(共50分) 1.已知集合 （　　） (A) (B) (C) (D) B. 提示：，．所以． 2.函数的单调递增区间是（　　）(A) (B) (C) (D) 提示：由对数函数的性质知，，则或．当时，为增函 数；当时，为减函数． 3.已知成等比数列，q:， 则是的（　　）(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 ：充分性显然成立，必要性不成立．例：. 4.直线与在区间上截曲线所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（　　）（A） （B） （C） （D） 函数，的图象只有被及这样的两直线所截，截得的弦长才能相等，且不为零．所以截取函数 的图象所得弦长相等且不为零的两直线应为，即有 解得，．进而．　　 点在曲线上,点在曲线上，则的最小值是 （　　） (A) (B) (C) (D) C. 提示： 两抛物线，关于直线对称． 所求的最小值为抛物线上的点到直线 距离的最小值的两倍．设为上任意点,　则 ,,．把2008表示成两个整数的平方差形式，则表示方法（ ） A.4 B.6 C .8 D.16 解： 设，即2008有8个正因数1，2，4，8，251，502，1004，2008而且与偶， 故；．答案. 7.已知则的最小值（ ） A B. C. 2 D. 1 解：记，则，， （当且仅当时取等号）．故选A． ，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 解析：设，易得，即．由于，所以，解得 ．答案：D． 函数是上的单调递增函数，当时，，且，则的值等于（ ） A1 B.2 C.3 D.4 解析：（排除法）令，则得．若，则，与矛盾；若，则，与“上单调递增”矛盾； 若，则，也与“上单调递增”矛盾．故选B．，表示不超过实数的最大整数，已知正数数列满足， ，其中为数列的前n项和，则= （ B ） A.17 B.18 C.19 D.20 填空题（共49分） 已知P是△ABC所在平面上一点，满足，则△ABP与△ABC的面积之 比为． 12.已知，．记的最大值为，则的表式为提示：, 令，则 且 ．抛物线顶点的横坐标为， 所以即，则。 解析： 。 设实系数一元二次方程有两个相异实根，其中一根在区间内，另一根 在区间内，则的取值范围是 。 解析： 根据题意，设两个相异的实根为，且，则 ，。 于是有 ，也即有。 故有，即取值范围为。 15.将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有 不同的染法.（用数字作答） 解析：第一行染2个黑格有种染法.第一行染好后，有如下三种情况： （1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法； （2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有种染法，第四行的染法随 之确定； 第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二 这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染 法有2种，第四行的染法随之确定.因此，共有染法为种.填90. 16.已知，直线与 的交点在直线上，则 。 解析：由已知可知，可设两直线的交点为，且为方程 ，的两个根，即为方程 的两个根。 因此，即0。 在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时， 顶点A正好落在边BC上。AD的长度的最小值为 。 解析：设，作△ADE关于DE的对称图形，A的对称点G落在BC上。 在△DGB中， 当时，即。 三、解答