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精品论文 参考文献 函数与方程探讨 李　芳（肥城市职业教育中心校　山东　泰安　271600） 摘　要：函数与方程的思想是高中数学学习的一条主线，在解题中，要善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式，而妙用函数的性质，更是应用函数思想的关键。 关键词：高中数学　函数与方程的思想　构造函数 在高中数学中，函数与方程的思想是一条主线，在高考当中反反复复被考查。因而在平时的学习研究中，一定要体会函数与方程思想的内涵与应用，以便更好地学习和应用数学，在数学学习中更上一层楼。 函数与方程是密切相关的，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看作二元方程y-f（x）=0。函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题可以转化为函数问题来解决，如解方程f（x）=0，就是求函数y=f（x）的零点。 函数与方程思想的应用，可以从以下几方面来探讨： 类型一:利用函数解决方程解的有关问题 [例1]如果方程cos2x-sinx-a=0在（0，　]上有解，求a的取值范围。 解析：把方程变为a=cos2x-sinx=-sin2-sinx+1，设t=sinx，则tisin;（0，1]。令f（t）=-t2-t+1，其中tisin;（0，1]，显然当且仅当aisin;f（t）的值域时，a=f（t）有解。 由tisin;（0，1]，结合二次函数的知识，故f（t）isin;[-1，1），故a的取值范围是[-1，1）。 点析：此题解答的关键是问题的转化。 此题不仅可以利用分离参数的函数方法，还可以把问题直接转化为二次函数问题解决。 设t=sinx，则tisin;（0，1]，则原方程变为t2+t-1+a=0，依题意，该方程在（0，1]上有解。 设f（t）=t2+t-1+a，其图像是开口向上的抛物线，对称轴为t=-　，在区间（0，1]的左侧。因此，f（x）=0在（0，1]上有解当且仅当f（0）lt;0且f（1）ge;0即-1le;alt;1，故a的取值范围是[-1，1）。 类型二:利用函数解决方程根的个数问题 [例2]已知函数f（x）=ln（ex+a）a是常数)是实数集R上的奇函数，试讨论关于x的方程　　=x2-2ex+m的根的个数。 解析：由f（x）=ln（ex+a）为奇函数，故f（0）=ln（1+a）=0，则a=0。故f（x）=lnex=x，所以方程为　　=x2-2ex+m，求其根的个数。令f1（x）=　　，f2（x）=x2-2ex+m，因为f1`（x）= ，当xisin;（0，e] 时，f1`（x）ge;0；xisin;[e，+infin;）时，f1`（x）le;0；x=e时，f1`（x）=0。所以f1（x）在（0，e]上单调递增，在（e，+infin;）上单调递减，故当x=e时，f1（x）有极大值f1（e）=　。根据f2（x）=（x-e）2+m-e2的图像， 当m-e2gt;　时，即mgt;e2+　时，原方程无实数根。 当m-e2=　，即m=e2+　时，原方程有一实根。 当m-e2lt;　，即mlt;e2+　时，原方程有两实根。 点析：此题变方程为函数，借助函数性质与图像来解决。 类型三:利用函数解决不等式问题 [例3]已知不等式7x-2gt;（x2-1）m对misin;[-2，2]恒成立，求实数x的取值范围。 解析：设f（m）=（x2-1）m-7x+2，f（m）是m的函数，其图像是直线。 依题意，f（m）lt;0对misin;[-2，2]恒成立。 由于y=f（m），当misin;[-2，2]时图像是线段，该线段应全部位于x轴下方，故其端点的纵坐标小于0，即f（- 2）lt;0且f（2）lt;0，解得　lt;xlt;　。故适合题意的x的取值范围是　lt;xlt;　。 点析：此题变不等式为函数，借助函数解决时注意参数的相应变化。 类型四:利用函数解决数列问题 [例4]已知等差数列5，4　，3　，……的前n项和为sn，求使得sn最大的序号n的值。 解析：由题意，等差数列5，4　，3　，……的公差为-　，所以sn=　[2times;5+（n-1）（-　）]=-　n2+　n。此式我们可以看成关于n的二次函数，故图像为开口向下的抛物线，对称轴为n=　，但nisin;N+，故当n取7或8时，sn取最大值。