人口预测的最小二乘模型.docVIP

实验24 人口预测的最小二乘模型 据统计，上世纪六十年代世界人口数据如下： 表24-1 世界人口数据（单位：亿） 年 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人口 29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 根据表中数据，预测公元2000年世界人口会超过 60亿。作出这一预测结果所用的方法就是数据拟合方法。 一、问题分析 据人口增长的统计资料和人口理论，当人口总数 N 不是很大时，在不长的时期内，人口增长率与人口数N成正比，这就是著名的马尔萨斯人口模型，用微分方程描述为 (24.1) 其中，b为人口增长系数。用分离变量法解常微分方程，得 ln N = b t + a，即 (24.2) 由此可知，马尔萨斯模型是人口数量按指数函数递增的模型。由于指数函数表达式中a和b均未知，需要用人口数据来确定。即用指数函数对数据进行拟合，确定指数函数中参数使指数函数与人口数据偏差（残差平方和）尽可能小。下图是经数所拟合后的指数函数图形与原始数据散点图的对比，残差平方和为3.6974×10- 4 图24-1指数函数图形与原始数据散点图 为了计算方便，将上式两边同取对数，还原为 ln N = a + b t，令 y = ln N 或 N = e y 变换后的拟合函数为 y(t) = a + b t (24-3) 由人口数据取对数（y = ln N ）计算，得下表 表24-2 世界人口数据（单位：亿） t 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 y 3.3918 3.4213 3.4503 3.4698 3.4763 3.4920 3.5133 3.5322 3.5505 二、求解超定方程组的数学原理 根据表中数据及等式a + b t k = y k ( k = 1，2，……，9)可列出关于两个未知数a 、b的9个方程的线性方程组 (24-4) 由于这一问题中方程数目多于未知数个数，被称为超定方程组，用矩阵形式表示为 AU = f (24-5) 显然A矩阵的行数大于列数。求解这一类方程组的数学原理是将等式左、右同时乘以A的转置矩阵，得新的线性方程组 ATAU =AT f (24-6) 令G =ATA， b = AT f。得系数矩阵为方阵的线性方程组。 GU=b 求解得原方程组的最小二乘解（广义解）。由于原方程组一般无解，将最小二乘解代入下式计算 R = f – A U (24-7) 通常会得非零向量，这一向量称为残差。残差的内积可以用来度量最小二乘解的逼近程度。 三、问题求解的计算机实验 输入下面命令 t=1960:1968; N=[29.72 30.61，31.51 32.13，32.34 32.85，33.56 34.20，34.83]; f=log(N); A=[ones(9,1) t]; G=A*A; b=A*f; U=G\b a=U(1); b=U(2); R=f-A*U; R*R Y=exp(a+b*t); tt=1960:8:2000; YY=exp(a+b*tt); plot(t,N,*,t,Y) figure bar(tt,YY) 程序运行结果为U = -33.0383 0.0186 ans = 3.6974e-004 由方程组最小二乘解得：－33.0383，0.0186；残差向量的内积：3.6974×10- 4。 代入拟合函数有 经计算 N(2000)= 64.1805 所以2000年的世界人口预测为64.1805亿。这一数据基本反映了人口变化趋。 图24-2 预测的人口数据变化图 - 160 - 第三章 综合实验 实验24 人口预测的最小二乘模型 - 161 - 160 161