考研必备(数学分析知识点之 定积分之证明).docVIP

本 科 毕 业 论 文 题 目 定积分不等式的证明及应用 院 别 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 曾 意 评阅教师 班 级 2006级6班 姓 名 唐 昌 蒲 学 号 20060241112 2010 年 5 月 27 日 摘要：定积分是微积分学中的常见问题，定积分不等式的证明是常见的问题，学习者在学习过程中普遍感到难以把握，而关于这方面的介绍又极为鲜见。[1]-[7]对定积分的性质、计算做了大量的研究，对定积分不等式的证明这一块又介绍的太少了，而且分散杂乱，不易对定积分不等式进行整体把握；[8]仅对一个定积分不等式进行了研究，不适于深度掌握定积分不等式的证明；[9]中对5类定积分不等式的证明，一类一解，整个文章主体不到A4纸一页，且选取的例题代表性不强。 本文针对定积分不等式的证明，对常规方法进行归类总结，给出应用并作新解多解。从定积分定义开始，延生到二重积分法，层次性强，易于把握. 关键词：定积分；中值定理；辅助函数；Taylor公式；二重积分 题目1【P266 华中工学院—复旦P294九题】 函数在上有定义，且单调不减，证明：对于任何有 . 方法 1 用定积分换元法 证明： 由，对，有，又在上单调不增，有 .从而，. 于是，问题得证.成立. 评注：当不等式中的积分限不同时，常借助变量代换改变积分限或被积函数，证明不等式. 例1、设在上连续，且单调减少求证：对于满足的任何，有. 证明：因为. 令 注意到在上单减， 由比较原理（两端从）得 即 又由比较原理和 由此得 方法 2、1 用函数单调性+积分中值定理 证明：由积分第一中值定理 ， 于是单调不增，有， 即有结论 . 于是 得证 . 推论：在单调不减，对任意的，总有 方法2、2 积分中值定理 解析：函数在上有定义，且单调不减，即是说在连续. 由积分第一中值定理得 . 如何能证到，如果则此题就得证. 证明：对任意，由， 得 函数在上有定义，且单调不减，即是说在连续. 由积分中第一值定理得 再在上有定义，且单调不减，而， 于是，即是. 推广：对于此题目，易知对于，不等式总成立. 评注： 积分第一中值定理法：该法适用于被积函数中连续，且不变号情形.证明思路：1）、 ； 2）、一般取为具体函数，通过的适当变形放缩. 2、积分第一中值定理法：该法适用于积函数中可积而连续单调的情形.证明思路：1）、； 2）、一般取为具体函数，利用的单调性求证. 例2、1设函数在上连续可微，证明： 证明：因为连续，由积分第一中值定理，存在，使得. 又因为 所以 再 ， 于是 结论得证， 例2、2 设在区间上连续且单增，求证： 证明1（ 积分第一中值定理）： 因为 又 故 证明2（积分第二中值定理）： 因为单调，由积分第二中值定理得 而 又 单调递增. 故 . 方法3 构造辅助函数法 证明： 令. 由于函数在上有定义，且单调不减，所以在内可导，两边求导得 ， 由于单调不减，且， 从而 是单调不减函数，所以当时，有， 即成立. 对任意. 所以. 评注：这种题型的一般证明程序： 作辅助函数.方法：将欲证结论中的积分上限（或是下限）换成，式中相同的字母也换成，移项使不等式的一端为零，则另一端的表达式即为所作辅助函数； 求的导函数，并判别的单调性； 求在积分区间的端点值，其中必有一个为零.再由（2）可推导出（或是）从而得证结论.