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解数学题的逆向思维 贺 昉 （邵阳市一中，湖南，邵阳，422000） 摘要：运用逆向思维方法，使一些较难解决的问题迎刃而解，如这篇文章中涉及的三类问题，其解法都比较巧妙。 关键词：逆向思维；均分法；迭代 中图分类号：B804.4；O141.3 文献标识码：A The Inwerse Thinking Model for Solving Mathematical Problems HE Fang (The First Middle School of Shaoyang City,Shaoyang,Hunan,422000) Abstract: By using a iverse thinking method,some relatively difficulr problems can be readily solved.For example,the solution methods of three ex,problems repressuted in this paper are all ring. Keywords: Inverse thinking;equipartition method;successive substitution 逆向思维是思维的一种方式，这种所谓是从要解决问题的结论入手。在解决某些问题时，这种思维别出心裁，相当有效。比如，试求出一个四位数，使其等于它的4位数字之和的4次方，文[1]的解法就很特别，是运用逆向思维的一个范例。 下面将从几个方面试用这种方法。 1 从一个数学游戏谈起 例1 设有甲乙两人对奕。游戏规则是：两人轮流数出一组连续的自然数，至少数1个，至多可数10个，前面的人数到n停止，后面的人接着从n+1数起，谁恰好数到100，就算胜利。试提供一种制胜方法。 分析：如果用顺向思维，设甲第一个数，从1开始，数到某个数止住，那简直无从下手，因为他不能预知乙怎么数。甲乙双方都有一个最佳停止问题。 我们不妨用逆向思维，甲欲取胜，即最后一次由甲数到100。倒数第二次由乙数，倒数第三次由甲数，倒数第三次甲的最佳停止数是多少？不难看出这个最佳停止数是89，乙从90开始，不管他数的个数还是连续数2~10个数，甲有把握数出100，这个89的来源是89=100-（1+10）=最终目的数-（最少数出数+最多数出数）。 从此逆推，倒数第五次甲的最佳停止数是89-（1+10）=78 继续逆推，甲的最佳停止数依次是1，12，23，34，45，56，67，78，89。 如果甲第一个数，依次在上述最佳停止数处停止，则无论乙怎么数，不论乙智商如何高，甲肯定取胜。但游戏规则是公平的，可能是乙先数，即使由甲先数，为了不曝露目标，开头几次，也不必在最佳停止处停止。制造假象，使乙摸不着头绪，但接近目标时，必须在最佳停止处停止。 稍微变通一下，如果最少 5个，最多数10个，则最佳停止处为 100-k（5+10）=100-15k（k=1，2，3，4，5，6），即最佳停止处依次为10，25，40，55，70，85。 2 两分法 例2 假定甲心中确定一个1000以内的自然数，由乙猜这个数，乙可提出若干问话，甲只能以“是”，“否”作答，试为乙设计一种最佳方案，使乙提问次数最少。 方法：下面是乙与甲的对话： 乙：（这个数）大于512？ 甲：否 乙：大于256？ 甲：否 乙：大于128？ 甲：是 乙：大于192？ 甲：否 乙：大于160？ 甲：否 乙：大于144？ 甲：是 乙：大于152？ 甲：是 乙：大于156？ 甲：否 乙：大于154？ 甲：是 乙：大于155？ 甲：是 如此回答10次，乙最后猜出该数是156。 方法的理论依据：因为210=1024＞＜＜. 分析 则有 （3.1） （3.1）的导出是逆向思维的运用。 令 则（3.1）变为 我们运用下述定理 定理3.1 若 则方程的一个根可用来逼近，这就是所谓逐次逼近法，证明从略。 关于迭代的深入研究，可参看[2]。 将定理3.1用于（3.1）式，并设m=2，就得下例。 例3 试求的近似值 解 （3.1）变为： 取 计算可为下简化： 设已有 于是 化小数点后的前7位数字都是准确的。 参考文献： [1] 陈育强.抓住本质属性，巧解数学问题[J].邵阳师范高等专科学校学报，2001，23（2）：80~81. [2] 张景中，李 浩.实迭代