棣棣美美弗定理理.PDFVIP

  棣美棣美弗定理理 大同同高中中‧陳盈盈穎老老師 16-3-3 棣美弗定理 定理敘述 ◆隸美弗定理 若複數 z r (cosi sin) ，則z n r n (cosni sin n) ，其中n Z 定理證明或說明 1. 若 n N ，可由數學歸納法證明之 1 1 (1) n 1時， z r (cos 1i sin 1) 成立 (2)設 n k 時， z k rk (cos ki sin k) 則 n k 1時， z k 1 z k z r k (cos ki sin k) r(cosi sin) k 1(cos( 1) sin( 1) ) r k  i k   (依極式的乘法性質) 故依數學歸納法，若複數 z r (cosi sin) ，則z n r n (cosni sin n) n N 2.若 n Z (1)考慮 n 0 ，z 0 1 r 0 (cos 0 i sin 0 ) n 1 1 1(cos 0 i sin 0) (2)考慮 n N ， z z n r n (cos ni sin n) r n (cos ni sin n) 1 n (cos(0 n) i sin(0 n)) (依極式的除法性質) r r n n i n (cos( ) sin( )) 故對 n Z ，若複數z r (cosi sin) ，則z n r n (cosni sin n) 關鍵字 隸美弗定理 例題 1 若 n 為自然數，且 (1 3i)n 為實數，則 n 的最小值為＿＿＿＿＿ Ans ：3 多普達國際．信望愛文教基金會 2 2 2 2n 2n n n     解： ( 1 3i) [2(cos i sin )] 2(cos i sin ) 為實數 3 3 3 3 得 n 的最小值為 3 例題 2 ( 3 i)10 ＿＿＿＿＿ Ans ： 512 512 3i 10 5 5 10 10 50 50 ( 3 i) [2(cos i sin )] 2 (cos i sin ) 解：     6 6 6 6