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第三章 敘述統計(Ⅱ)─統計量數 統計量數： 統計圖與統計表雖能方便的展示資料的分佈狀況，但若欲對統計資料作更深入的分析，這須利用一些統計量數來呈現資料的性質。 描述統計資料特性的量數，主要有兩類： 集中趨勢量數(measures of central tendency)。 差異量數(dispersion measures)又稱為離散量數。 集中趨勢量數： 代表一組資料中個觀測值某種特性有共同趨勢存在之量數，可反映該組資料觀測值集中的位置。較常用的集中量數包括平均數、中位數、百分位數與眾數。 平均數： 平均數由多種類型，包括阿算術平均數，幾何平均數，調和平均數，其中算術平均數是最常用的，在此僅介紹算術平均數。 算術平均數： 資料之全部數值的總和除以觀測值個數。 未分組 已分組 設mi及fi為分組資料中的第i組之組中點及組次數，則為此數字資料之平均數。 算術平均數之性質： 各變量與平均數之差的總和為零，即 每個變量與平均數差之平方和為最小，即 缺點： 容易受到極端值的影響。 當資料呈現雙峰時，不可以用平均數代表集中趨勢。 中位數(Md)： 將一組數字資料依數字大小由小而大排列，位置居中間著為該群資料之中位數。 未分組 設一群數字資料含n個數，其由小而大排列為x(1)≦x(2)≦…. ≦x(n)，則 當n為奇數時，第位置的數值為其中位數。 當n為偶數時，第位置之兩數值的平均為其中位數。 已分組 中位數 中位數之性質： 中位數受項目多寡影響，但不受極端值影響。 數字資料中各變量與中位數差之絕對值總和為最小。 缺點： 中位數只考慮居中位置的幾個數值，忽略的其他數值的大小，故缺乏敏感性。 分位數： 常見的分位數有四分位數，十分位數，百分位數。 四分位數： 未分組 將一群資料分割成四個部分(各25%)，從最小的一端起算，第一分割點之數稱為第一個四分位數(Q1)，第二分割點之數稱為第二個四分位數(Q2)，第三分割點之數稱為第三個四分位數(Q3)。 Q1指的第n/4項之數值 Q2指的第2n/4項之數值 Q3指的第3n/4項之數值 即Qi指第項之數值，若為整數則取前後兩數值作平均數即可，若非整數則取下一項數值即可。 (例如第2.3項則取第3項數值) 未分組 (見後) 十分位數： 未分組 是指將一群資料分割成10個等分，其分割點稱之。 D1指的第n/10項之數值 D2指的第2n/10項之數值很 ： D9指的第9n/10項之數值 即Di指第項之數值，若為整數則取前後兩數值作平均數即可，若非整數則取下一項數值即可。 未分組 (見後) 百分位數： 未分組 是指將一群資料分割成100個等分，其分割點稱之。 P1指的第n/100項之數值 P2指的第2n/100項之數值 ： P99指的第99n/100項之數值 即Pi指第項之數值，若為整數則取前後兩數值作平均數即可，若非整數則取下一項數值即可。 未分組 (見後) 眾數： 一組資料中出現次數最多的數值。 分組資料數的計算方式： 第M個百分位數 差異量數： 衡量一組資料中各個觀測值之間的差異或離散的程度。 全距(Range)： 未分組 設一群數字資料含n個數，其由小而大排列為x(1)≦x(2)≦…. ≦x(n)，則全距R= x(n)- x(1) 已分組 全距R=U－L =最大一組的上界－最小一組的下界 說明：1.資料單位不同時，無法相比較。 2.沒有充分運用每個個體的訊息，無法精確反應，全體資料之分配。 四分位差(Quartile Deviation)： 為第3個四分位數與第1個四分位數差的一半 說明：1.資料單位不同時，無法相比較。 2.沒有充分運用每個個體的訊息，無法精確反應，全體資料之分配。 平均差(mean absolute deviation)： 未分組 各個數值之離差取絕對值，再求其平均數。 設x1、x2…、xn，為一群數字資料，則平均差 已分組 說明：1.資料單位不同時，無法相比較。 變異數(variance)與標準差(standard deviation)： 未分組 各個數值之離差取平方值，再求其平均數。 設x1、x2…、xn，為一群數字資料，則 1.母體變異數 (註1) 2.樣本變異數 3.母體標準差 4.樣本標準差 說明：以樣本推估母體時，因使用取代，為避免造成偏差，要修正n為n－1。 已分組 式中Xi為第i組的組中點 說明：1.資料單位不同時，無法相比較。 變異係數(coefficient of variation)： 標準差除以平均數，變異係數 說明：因為變異係數無單位，可使用於(1)單位不同，(2)單位相同但平均數相差甚大，資料之變異性的比較。 因為27.27%16.67%，所以幼稚園學生體重差異較大， 也可說