小议三角函数线的重要性-常熟市尚湖高级中学.docVIP

小议三角函数线的重要性 江苏省常熟市尚湖高级中学215500朱晓摘要：三角函数线是三角函数初学中比较重要的概念，其对于承接三角任意角、弧度制和后续三角函数的图像有着承上启下的重要作用．学生对三角函数线的使用并不重视，从侧门反映了学生对三角函数定义的陌生． 关键词：三角函数线 三角函数 数学 不等式 方程 几何意义 众所周知，三角函数是一种特殊的函数，其是运用角度作为自变量形成的函数[1]。从三角函数的学习中，学生又深刻的理解了函数的概念，是一种变量经过对应法则相对应的过程．学过三角函数的同学才知道，以角度作为自变量真的是一种非常奇妙的入手想法，将一直以来运用长度为自变量的想法转换了过来，很多复杂的问题通过角度为自变量的变化变得容易入手． 三角函数线是三角函数中极具重要的一个基本概念，却并不受到师生重视．不受重视的原因自然有这些方面：第一，三角函数图像的呈现，让三角函数线失去了使用的价值，毕竟函数图像更能展示其变化规律，很多特征包括定义域、值域、单调性、奇偶性等在图像中都可以直接读出，而三角函数线有一定的缺陷；第二，在研究正切线时远比正切图像来得麻烦，而且很多学生并未理解正切线起点为什么必须放在？三角函数线在解决函数性质方面显得比较落后；第三，很多同学对于三角函数线所表述的几何意义并没有与概念本质真正挂钩起来，导致其认为三角函数线的认知重要性大大降低． 笔者认为：三角函数教学有两根主线，其一是三角函数线，这是三角函数从任意角推广而来的定义延伸，其在三角学习初步的时候有着不可或缺的重要作用；其二自然是三角函数图像，但是函数图像的形成也归根于三角函数线．从大量调查和一线实践来看，学生对于第一根主线：三角函数线并不重视，导致其真正的作用未能发挥出来，也对后续理解三角函数图像的形成带来了阻碍． 1 三角不等式的解决 与三角相关的不等式，如何快速解决呢？可以借助三角函数线来思考，这正是三角函数定义最直接的体现． 问题1：解三角不等式. 解析：先在轴上找到，过点作轴的垂线，交单位圆于，两点，则射线，为终边的角的集合即为方程的解集，而劣弧对应的角（阴影部分）即为不等式的解集（如图1），终边，对应的角为或，故不等式的解集为，. 说明：三角函数线是如何解不等式的？我们发现，借助单位圆是基本条件．对比新旧教材，我们发现教材对任意角三角函数定义作出了修改，旧版教材中将一般化情形作为三角函数的定义，即：在角终边上取一点，其到原点的距离，则的正弦值；而新版教材却将特殊情形作为三角函数的定义，即：角终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）相交于一点，则的正弦值．其实这两种定义的方式是一样的，之所以新版教材选择了后一种，正是为三角函数定义更好的与三角函数线相结合，这样在介绍三角函数线，尤其是正弦线、余弦线的时候，几乎未作思考就脱口而出，成为一种自然的、直观的几何意义体现．这就是为何新版教材将特殊情形选择作为任意角三角函数定义，而一般情形简要介绍而已．有兴趣的读者继续研究与正弦、正切相关的三角不等式是：（1）；（2）．答案：；． 2 求解三角相关的函数定义域 与三角相关的函数定义域求解是初学者的难点．笔者总结了一下，主要是两种：一种是多个三角不等式的研究；一种是三角不等式与一元一次、一元二次不等式的研究．从三角函数线解决定义域来说，是多次使用三角函数线解决三角不等式，并利用交集解决函数定义域．现在的难点是如何求解多个三角不等式之间的公共部分？或者是三角不等式与一元一次、一元二次不等式求公共部分？ 问题2：求函数的定义域． 解析：由题意得，即 ，同样以例1的方法确定终边（如图2），得到劣弧和优弧的公共部分对应角的范围是，即函数的定义域为． 说明：学生处理本题的难点不在于是否能解三角不等式？而是后续对于三角不等式的交集如何求？我们知道，将两个不等式的解集分别在图中给以展示，找到两者重合的阴影部分是问题解决的关键．有兴趣的读者继续研究：（1）的定义域；（2）的定义域． 答案：，；，． 3 从几何意义的角度思考 三角函数线有着丰富的几何意义，从单位圆为背景的定义入手，我们发现正弦线、余弦线、正切线可以出现在图中的准确位置，并且这种位置恰好对应了其几何意义．这样利用三角函数线恰恰是把任意角的三角函数代数化的定义丰富了内涵，让其拥有了深刻的感官直觉，进而有助于巧妙解决问题[2]． 问题3：求证：若为锐角，则． 证明：从三角函数线的定义中，我们发现利用有向线段表示正弦和余弦是非常有趣的事，如图3，在单位圆中，是锐角，作出角的正弦线、余弦线，，，∵（平面几何性质：三角形两边之和大于第三边），∴． 问题4：若，试利用单位圆证明：． 证明：证明上述典型的不等式，我们利用几何意义入手．如图3，连接PA，设弧的长为，∵，∴．注意