尺规作图的代数面.PDFVIP

尺規作圖的代數面 張海潮 臺灣大學數學系退休教授 一、什麼是尺規數？ 如果我們在數線上標好 0和 1 ，尺規數（又稱規矩數 ）是指可以用 （無刻度 的 ）尺和圓規在數線上標出的數。 首先，這些數包含正整數；其次，在標記的時候如果取反方向，就自然也標 出了負整數，如圖。 利用相似形成比例定理，可以進一步標出所有的有理數（即分數）。如圖一， 圖中的虛線互相平行， OA AB BC 。 圖一 注意到由於平行公理，尺規作圖允許我們作平行線。如此一來，我們便得到 了有理數的全體，以 表示。 a a a 以下不再區分一個正數 和長度為 的線段，亦即如果 被標記在數線上， a a a 也代表數線上從 0 到的線段。再來，對數線上任一個已知正數 ，我們可以 開平方，作 a ，如圖二： 圖二 a 將數線上代表長度的線段與單位長線段首尾相接作為半圓的直徑，過相接點作 垂直線段，虛線的部分就是 。 a 1 顯然，兩個已知數利用尺規可以相加減；至於相乘，如圖三： 圖三 1 圖中虛線互相平行， ”？”代表 ab ，類似的圖形中”？”代表 ，見圖四。 a 圖四 總之，從有理數的全體 開始，利用 , , , , 正數 一再重複操作所得數的全 體，就是尺規數。另外，注意 到, , , 及 的動作也適用於任何給定的線 段。 以上的建構可以更精確的說明如下：從 開始，任選一個非平方的正數， 將它開平方，例如得到 。然後作所有的 ，其中p ,q  ，而得到的 2 p q 2 K K 一個擴張，以 ( 2) 表。如此繼續，在每一個擴張 得到後，在 中任選一個 K 在 中非平方的正數，將之開平方，例如： k , k K, k 0 。接著作所有的 l m k , l,mK ，而得到下一個擴張 。這些擴張的全體，就是數線上的 K ( k ) 尺規數。 可是，這些數畢竟是透過上述特定的方式產生的，從尺規全面的作圖功能來 看，會不會比上述方式得到更多的數呢？答案是否定的，原因是從平面坐標幾何 的角度，尺規作圖不過是求解直線與直線，直線與圓，和圓與圓的交點的 坐標。 ax by c 0 (1)  a,b,c,,, 已知 x y  0   ax by c 0 (2)  2