屯门区小学数学比赛专题特刊-仁爱堂田家炳中学.PDFVIP

解難之趣 屯門區小學數學比賽專題特刊 第十八屆 二零零八年四月十九日 集合的定義 1 研習高等數學，不能不談集合(Set) （註）。所謂一個集合，實在 是可大可小的東西。例如 ，媽媽到市場買了一籃水果 ，內裡盛有蘋果3 個、橙 2 個、西瓜 1 個。那麼，我們可以稱那個籃子為一個集合，而 內裡的蘋果、橙、西瓜就是這個集合的元素(element) 。這個水果的集合 共有6 個元素。 另一個同學常見的例子，就是大家所屬的班別了。我們可以稱2A 、2B……為一個集合， 班裡的每一位同學就是這個集合的元素。那末，班主任算不算這個集合的元素呢？而集合元 素的數目又是多少呢？ 談到集合裡元素的數目，真是可大可小的啊！上述的生果集合，算是規模「細小」的了。 看些龐然巨物吧！若果將本校的學生視為一個集合，元素的數目就有約一千 ；若果視香港人 口為一個集合，元素的數目約有八百多萬；若果視中國人口為一個集合，元素的數目就高達 十三億了！還有些更大的集合嗎？地球的總人口？地球上昆蟲的總數？ 宇宙上星體的總數？其實，大家都認識一個比上述集合擁有更多元素的巨 型集合──若果我們視自然數(Natural Numbers)為一個集合，則它擁有的 元素的數目就是無窮(infinity) 了！在數學裡，無窮的記號──「∞ 」── 像個倒臥了的8 字一樣。 見識過巨大的集合後，同學或會問：「那麼最小集合又是甚麼呢？」 ──媽媽又從市場回來 ，今次買了甚麼水果呢？同學好奇一看籃子，啊 ！ 竟是空無一物！我們可以「當」那個空籃子為最小的集合，它叫做空集 (empty set) ，它擁有元素的數目是０。不過，這個空籃子只是方便同學去 理解空集定義的想像圖，真正的空集是連那個空籃子也沒有的東西！真的 是空無一物。 1 註 ：集合這個概念 ，最先由德國數學家康託(Georg Cantor, 1845-1918)提出。他提出有關無窮的理論 ，引發第三 次數學危機的出現。 1 集合的記號 數學大量應用符號去代替文字敘述，就是要打破語言的障礙，增加它的流通性。集合也 有它世界通行的記號，一般會用大括號{}去表示一個集，例如 (1) {學生：田家炳中學的學生}就表示田家炳中學的學生這個集合。 (2) {x : x is a natural number}就表示所有自然數的集合了。 這類表示集合的方法，叫作會意法 ，方便表示一些擁有眾多元素的集合。另一種表示集 合的方法叫做窮舉法 ，方便表示一些擁有元素較少的集合；不過，兩個表示法是相通的，例 如 會 意 法 窮 舉 法 {x : x 是 16 的因數} ＝ {1, 2, 4, 8, 16} {x : x 是少於 10 的質數} ＝ {2, 3, 5, 7} {x : x 是自然數} ＝ {1, 2, 3, 4, ...} 至於那種集合適合用那種表示法，原則一切以簡單為佳！ 集的圖象表示法 好些時候 ，圖象是表示概念的有效工具，它可以令抽象的概念變得 清楚，變得實在和易於掌握。對集合這種抽象的數學概念，我們會用溫氏圖(Venn diagram) 去表示： 一般會用一圖形 去代表集合 A 。 A 方形則代表集合A 以外的