对称多项式的eh-恒等式(下)-数学学科中心.PDFVIP

對稱多項式的e −h 恆等式(下)： e 將 用 的行列式表示 h 陳建燁 臺北市立第一女子高級中學數學教師 壹、前言： 關於對稱多項式，有一個很重要的事實，稱為 「對稱多項式的基本定理」， 簡單地說，即任何 n 元(a , a , , a )的對稱多項式，總是可以寫成 n個基本對稱 1 2 n 多項式(即e , e , , e )的多項式(參考資料[4])。例如： 1 2 n 2 2 2 2 2 2 a +b +c (a =+b +c) −2(ab +bc +ca) [e (a,b,c)] =−2⋅e (a,b,c) e =−2e 。那 1 2 1 2 麼，既然h (a , a , , a )是對稱多項式，當然也可以寫成 e ,e , , e的多項式。 m 1 2 m 1 2 m 本篇文章的主要工作，是由對稱多項式的「e −h 恆等式」出發，將一系列的 e −h 恆等式所成的聯立方程組，用矩陣的乘法表示，再用「克拉瑪公式」求解，將 h (a , a , , a )用 e ,e , , e的行列式來表示， m 1 2 m 1 2 m e e 0 0 1 0 e e e 0 例如： h (a,b, c, d ) 2 1 0 ， 4 e e e e 3 2 1 0 e e e e 4 3 2 1 ( , , , ) a b c d 展開之後，即為 e ,e , , e的多項式。(參考資料[2]) 1 2 m 這樣的表示法有個應用：由於費氏數列的一般項，可表示為完全齊次對稱多 項式，於是可用 e , e , ,e的行列式加以表達，得到費氏數列一般項的行列式表 1 2 m 達式： 1 1 0 0 0 0 −1 1 1 0 0 0 0 −1 1 1 0 0 0 0 −1 1 Fm+1 (此行列式為 m階， m ≥3 )。 1 1 0 0 0 0 −1 1 1 0 0 0