常微分方程--第二章 一阶微分方程的初等解法(2.4-2.5).pptVIP

目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 §2.4 一阶隐式微分方程 一阶显式微分方程 一阶隐式微分方程 能从上式中解出 就可以化成显式方程。 例1 求解微分方程 解：方程右端分解因式，得 从而得到两个方程 故原方程的通解可以表示为 通解也可以表示为 一、可解出y或x的方程与微分法 从方程中解出 得到 这里设 有连续偏导数, 关于 解法：引进参数 则方程变为 （2.4.4） 将上式两边对 求导，得 （2.4.5） 若求出方程（2.4.5）的通解为 即 将它代入（2.4.4）得通解为 若还有解 代入（2.4.4）得 情形1： 情形2： 情形3： 若能求出方程（2.4.5）的通积分， 同理若解出x，完全类似。 将他与（2.4.4）联立，则得到（2.4.3）的参数形式的通积分 其中 是参数。 如果（2.4.5）还有解 则得到（2.4.3）的参数形式的解 利用对 （或 ）求导，从形式上消去 （或 ）， 从而把问题转化为求解关于 由上述讨论得知： 为了求解方程（2.4.3）或(2.4.6)，我们引进参数 （或 ）与 的一阶显式 方程，因此，我们把这种求解方法称为微分法 例1：求解方程 解：令 则原方程可写成 （2.4.8） 两边对x求导得到 整理化简后得方程 对 积分得方程的通解为 将其代入（2.4.8）得原方程的一个解 又从 得原方程的一个解 将其代入（2.5.8）又得方程的一个解 Clairaut方程 （2.4.11） 特点：关于 能解出的一阶隐式方程， 二阶连续可微，且 利用微分法求解此方程 令 对x求导得 时,得到Clairaut方程的一个特解 当 当 时，有 因此通解为 即 二、不显含x或y的方程与参数法 若方程 的左端不显含x，即 （2.4.12） 解法：引进参数 则方程变为 引入参数 t 将上式用参数曲线表示为 故 积分得 由参数的微分法知 就可以得出微分方程用参数形式表示的解。 下面只须求出 关于 的参数方程 例2.4.4 求微分方程 解：令 解得 由于 于是，方程（2.5.12）的解为 积分得 故原方程参数形式的通解为 消去此参数 t ,得到通解为 三、奇解与包络 的解在 P 点与 相切，则称 是 奇解定义 微分方程 的奇解。 设一阶隐式方程 有一个特解 在P点任何一个邻域内方程 如果对每一点 都有一个不同于 对 则奇解 满足一个联立方程组： 是微分方程（2.4.1）的一个奇解，并且 奇解存在的必要条件： 定理2.4 设 对 连续，且 有连续的偏导数 和 若函数 上式一 我们称为p-判别式。从（2.4.15 ）中消去 所得到的方程 （2.4.15） 在平面上确定的曲线 称为p判别曲线。 奇解存在的充分条件： 定理2.5 设 对 二阶连续可微, 且由微分方程 的p判别式 得到的函数 是微分方程的解. 若条件 是微分方程的奇解. 成立,则 例：讨论方程 的奇解。 解：对方程有 它的 p 判别式为 又 从两个方程消去 p 得 是方程的解。 是奇解。 因此 显然 例：单参数曲线族 表示圆心为（a,0） 在L上每一点都有曲线族上的某一曲线与之相切， 给定以c为参数的曲线族 及曲线L，如果 并且在L的每一段上都有曲线族的无穷多条曲线与 之相切。我们就把这条曲线L称为曲线族的包络。 半径为定长 r 的一族圆。 放大图 此曲线族有包络 见右图2.9 及 例：求曲线 的包络。 解：命 则 为了消去 c 将二式代入一式得 由 得 再由 得 因此由 c 判别曲线分解成两条直线， 和 容易知 不是包络， 是包络。 * *