常微分方程--第二章 一阶微分方程的初等解法(2.1-2.3).pptVIP

当微分方程不是全微分方程时，我们可以利用 定理2.2来判断它是否有仅与 或 有关的积分因子。 易证上式就是方程的一个积分因子,故定理得证. 例：求微分方程 的通解。 解：由于 故它不是全微分方程。 设 于是，对 有 原题得证。 三、 Bernoulli方程 伯努利方程的标准形式: 令 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: (线性方程) 例2.2.5求初值问题 的解。 解：方程两边同乘以2y后得 令 代入得 通解为 将 代入得 代入初值条件得 在电感上的电压降为 由Kirchhoff回路电压定律知： 沿着任一闭合回路的电压降的代数和为零。 四、 线性微分方程的应用举例 例1：RL串联电路由电阻、电感、 关闭合后电路中的电流强度 电源组成的串联电路，求开 解：当电路中电流为 时，在R上的电压降为 我们得到电流 所满足的微分方程为： 取开关闭合时刻为0，则 又 将初始条件 代入得: 故当开关闭合后，电路中的电流强度为： 求得齐次方程通解为 是方程特解， 因此,得到通解: 例2 湖泊的污染 设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水中流 入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊中混合均匀 的水的流出的速率是1000立方米每小时, 求该厂排污 1年时, 湖泊水中盐酸的含量. 解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 考虑 内湖泊中盐酸的变化. 因此有 该方程有积分因子 两边同乘以 后,整理得 积分得 利用初始条件得 故 ( 雅各布第一 · 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用,而伯努利定理 Bernoulli (1654 – 1705) 瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 《猜度术》, 则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出版了他的巨著 这是组合数学与概率论史上的一件大事, 此外, 他对双纽线, 悬链 线和对数螺线都有深入的研究. 1.恰当微分方程的定义 §2.3 恰当微分方程与积分因子 设 是一个连续可微的二元函数,则 若 则有 这是一大类可求解的微分方程. 则称 为恰当微分方程，也称全微分方程。 （2.3.2） 若连续可微的二元函数 使得 （2.3.1） 此时，全微分方程 的解为 例如,下列方程都是全微分方程: 因为函数 的全微分就分别是这三个方程的左端,它们的 解分别是 但并不是所有的方程都能方便地找到对应的 的函数 ,或者这样的 就不存在.所以我 们有三个问题需要解决: (1)方程(2.3.2)是否就是全微分方程; (2)若方程(2.3.2)是全微分方程,怎样求它 的解; (3)若方程(2.3.2)不是全微分方程,有无可能将它转化为一个全微分方程来求解? 中连续且有连续的一阶偏导数，则 定理2.1 设函数 和 在一个矩形区域 是全微分方程的充要条件为: （2.3.3) 证明：一.先证必要性 是全微分方程,则有函数 使得 2.方程为全微分方程的充要条件 设 故 成立。 故有 计算 的二阶混合偏导数: 由于 和 都连续， 从而有 二.再证充分性 构造函数 满足 设 满足 令 在矩形R中取一点 是 的一个动点， 取 待定，对上式关于y 求偏导得 令 所有与 相差一个常数的函数都满足 定理2.1可以判定一个方程是否为全微分方程。 则找到一个满足 的函数 (2.3.4) 实际上 我们把这种方法称为线积分法. 例：验证方程 是全微分方程，并求它的通解。 由于 3.全微分方程的积分 解： 当一个方程是全微分方程时,我们有三种解法. (1) 线积分法: 或 由公式(2.3.4)得: 故通解为 其中 为任意常数 所以方程为全微分方程。 (2)偏积分法 的通解. 例：求方程 　由于 解：　 假设所求全微分函数为 ,则有 求 而 即 从而 即 例：验证方程 是全微分方程，并求它满足初始条件： 的解。 解：　 所以方程为全微分方程。 由于 　由于 (3)凑微分法 方程的通解为： 利用条件 得 最后得所求初值问题得解为： 根据二元函数微分的经验,原方程可写为 注: 定理2.1要求 在区域 中连续且有 例: 显然 解: 以及偏导数在坐标 原点处不存在,通过凑微分方法得: 连续的偏导数,可利用线积分与路径无关来求 单值函数 ,若 及其偏导数在 不连续或无定义,函数 就可能是多值的. 中 因此 它不是一个单值函数