概率论与数理统计--第四章 随机变量的数字特征（4.1-4.2）.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1. 概念的引入 方差是一个常用来体现随机变量取值离散程度的量. 实例 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000小时. 一、随机变量方差的概念及性质 2. 方差的定义 　 方差体现随机变量 X 取值的离散程度. 注： 方差是一个无量纲的的量 3. 方差的意义 如果 D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变量的代表性好. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值离散程度大, E(X) 的代表性差; 离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差 4. 随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算 (2) 利用公式计算 5. 方差的性质 (1) 设 C 是常数, 则有 (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 (3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 1. 两点分布 已知随机变量 X 的分布律为 则有 二、重要概率分布的方差 2. 二项分布 则有 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为 3. 泊松分布 则有 所以 4. 均匀分布 则有 结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点. 5. 指数分布 则有 6. 正态分布 则有 分　　布 参数 数学期望 方差 两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布 解 三、例题讲解 例1 于是 已知离散型随机变量的所有可能取值为 1，2，3； 且 E(X)=2.3, D(X)=0.61, 例2 求 X 的分布律。 随机变量的标准化 令 则 注1 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式 注2 在冬季供暖季节，住房平均温度为20℃，标准差2℃，试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于4℃的概率下界。 例3 * * * * * * 第四章 随机变量的数字特征 分布函数能完整地描述 随机变量的统计特性, 但实际应用中并不都需要知道分布函数而只需知道 随机变量的某些特征. 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好; 又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度 例如： 考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小. 由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征 ,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义. 本章主要内容 数学期望、方差、协方差、相关系数、矩 一、数学期望的概念 三、数学期望的性质 二、随机变量函数的数学期望 第一节 数学期望 设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下 引例 射击问题 试问:该射手每次射击平均命中靶多少环? 命中环数 k 命中次数 频率 一、数学期望的概念 解 平均射中环数 1. 离散型随机变量的数学期望 射击问题 “平均射中环数”即为随机变量 X 的数学期望 设射手命中的环数为随机变量 X ， 关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取值的真正的平均值, 也称均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. 随机变量 X 的算术平均值为 假设 它从本质上体现了随机变量X 取值的平均程度. 随机变量 X 的期望为 试问哪个射手技术较好? 实例1 谁的技术比较好? 乙射手 甲射手 解 故甲射手的技术比较好. 实例2 发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润. 解 设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则 每张彩票平均可赚 每张彩票平均能得到奖金 因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为 实例3 如何确定投资决策方向?