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Matlab及其应用 Matlab及其应用 重庆大学光电工程学院 第五讲 MATLAB的数据分析 和数值分析 5.1、线性方程组的解 matlab中矩阵有两种除运算：左除和右除 B/A=B*inv(A)，A\B=inv(A)*B 对于方程ax＝b，a 为an×m矩阵（n为方程数，m为未知数个数），有三种情况： ? 当n=m时，此方程成为“恰定”方程 ? 当nm时，此方程成为“超定”方程 ? 当nm时，此方程成为“欠定”方程 matlab定义的除运算可以很方便地解上述三种方程 5.1.1 恰定方程组的解 n=m，此时a为方阵。 方程ax=b(a为非奇异，det(a)~=0) x=a-1 b a-1为矩阵逆 两种解法： x=inv(a) *b — 采用求逆运算解方程 x=a\b — 采用左除运算解方程 5.1.2 超定方程组的解 方程 ax=b，nm时，此时不存在唯一解。 此时，a不是方阵，无法求逆，利用转置阵。 方程解法： (aa)x=ab x=(aa)-1ab — 求逆法 x=a\b —用最小二乘法找一个准确的基本解。 线性最小二乘问题： 线性二乘问题的解 线性方程组Ax=b，求该超定方程组的最小二乘解。 正则方程法x=(A’A)-1A’b 容易理解，精度差 广义逆法x=A+b 结果可靠（pinv函数） 矩阵除法x=A\b 速度快，可靠性稍差 5.1.3 欠定方程组的解 当方程数少于未知量个数时,即不定情况,有无穷多个解存在。 matlab可求出两个解： 用除法求的解x是具有最多零元素的解 基于伪逆（广义逆）pinv求得的是具有最小长度或范数的解。 5.2、矩阵函数 5.2.1 求行列式（determinant） det指令 d = det(X) returns the determinant of the square matrix X. If X contains only integer entries, the result d is also an integer. 5.2.2 LU分解 如果方阵A可以分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，则称A可作三角分解或者LU分解，矩阵的LU分解不唯一。 5.2.3 特征值分解 Ax=λx，则λ为矩阵A的特征值 d=eig(A)计算特征值 [V,D]=eig(A)计算特征向量阵V和特征值对角阵D 5.2.4 求方阵的逆 X=[1 2 3 0; 5 6 0 8; 9 0 11 12; 0 14 15 16]; Y=inv(X) Y = 0.2299 0.0908 0.0351 -0.0717 0.1940 0.0798 -0.0659 0.0095 0.1274 -0.0835 0.0322 0.0176 -0.2892 0.0084 0.0275 0.0377 Y*X %矩阵与其逆阵相乘结果是单位矩阵 ans = 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 X*Y %矩阵的逆阵是唯一的 ans = 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 5.2.5 求方阵的秩、范数、条件数 X=[1, 2, 3; 2, 3 -5; 4 7 1]; rank(X) ans = 2 norm(X) ans = 9.1184 cond(X) ans = 8.7749e+015 5.3、多项式和卷积 5.3.1 多项式 多项式表达 多项式是形如 P(x) = a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an的式子。 在MATLAB中，多项式用行向量表示： P=[ a0 a1 … an-1 an] 例：已知向量A=[1 –34 –80 0 0]，用此向量构造一多项式并显示结果。 (x-1)(x+34)(x+80)(x-0)(x-0) 多项式的运算 1. 多项式的算术运算 参加加减运算的多项式应该具有相同的阶次。 多项式乘法采用conv函数，除法由deconv函数完成。 2. 求根 求多项式的根采用roots函数。