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规划模型与Wardrop平衡一致的证明 对于任意一个非线性规划问题，其任意局部极小点的解或驻点解均满足一阶必要条件。如果模型（P1）的一阶必要条件等同于Wardrop平衡条件，则说明在任意极小点（或驻点）上，Wardrop平衡条件成立，也就证明了等价关系。 模型（P1）是一个带线性等式约束和非负约束的极小值问题，其拉格朗日函数为： （P-1） 式中为等式约束（7b）的拉格朗日乘子（即对偶变量），为非负约束的拉格朗日乘子，，分别为其对应的向量表示。 问题（P1）的一阶条件等价于使极小的一阶必要条件，即： 的变量是路径流量和拉格朗日乘子，其一阶条件如下： ， （6-11） ， （6-12） ， （6-13） 其中 上式中第一项为： 其中 ； 因此有： 上式中的第二项为 注意到，是已知量，并不是的函数。 上式中的第三项为： 注意到，在这里是非负变量的拉格朗日乘子，因此有，。 由以上分析可知一阶条件（6-11）又可以写为： ， 进一步再写为：，，显然可以得到下式： 通过采用（6-13）： ， （6-14） 又因为有， ， （6-15） 对于一阶条件（6-12）、（6-13）很容易推导出： ， （6-16） ， （6-17） 显然，（6-16）和（6-17）就是流量守恒约束和路径流量非负约束，它们在平衡状态下自然应该满足。我们来分析（6-14）和（6-15），当时，；当时，。这就是说，对应于O-D对的拉格朗日乘子总是小于或等于连接O-D对的任意路径的费用，因此是起始节点到终讫节点之间的最小费用。 很明显，以上所推导出的一阶必要条件表达了用户平衡原则，即：连接O-D对的路径可分为两类，一类路径上有流量，其费用总是等于最小O-D费用；另一类路径上没有流量，其费用总是大于或等于最小O-D费用。当流量分布达到平衡状态时，再没有一个司机能够通过单方面改变行驶路径而可以减少其行驶费用了。到此，就证明了模型（P1）P1）是一个由线性等式约束和非负约束构成的非线性规划，约束集自然是凸的，如果目标函数也是凸的，那么（P1）就是一个凸规划问题，最优目标函数值唯一。如果目标函数是严格凸的，则（P1）是一个严格凸规划问题，其最优解唯一。 目标函数的Hessian矩阵为： （6-18） 根据（6-9）式可知是正定的，因此（P1）的目标函数是严格凸函数，所以它的最优解是唯一的。换句话说，费用函数是非负性和单调递增是（P1）具有唯一最优解的条件。然而不幸的是这种凸性并不适合于路径流量（更详细的说明请查阅Sheffi，1985）。这种路径流量最优解的非唯一性最终成为解决交通运输问题的下降算法应用中的一个严重障碍。 F-W方法的说明 Frank 和Wolfe于1956年提出求解线性约束问题的一种凸组合算法，通常简称F-W算法，是属于可行方向法的一种。由于本章中出现的最优化问题主要是非线性目标函数与线性约束的，故先介绍这一著名算法。 考虑非线性规划问题： s.t. 其中是矩阵，秩为，是维列向量，是连续可微函数。可行域记为： 。 F-W算法的基本思想是，在每次迭代中，将目标函数线性化，通过解线性规划来求得下降可行方向，进而沿此方向在可行域内作一维有哪些信誉好的足球投注网站以得到新的迭代点。现在给出具体的求解方法。 设已知某可行点，将在处展开，用一阶泰劳多项式： 逼近。解线性规划问题： s.t. 去掉上面目标函数中的常数项，将此问题改写为如下形式： s.t. 假设此问题存在有限最优解，由线性规划的基本性质可知，这个最优解可在某极点达到。求解线性规划的结果必为下列两种情况之一： 如果，则停止迭代，可证明，此时就是原问题的K-T点。 如果，则必有： 因此（）为处的下降方向，且是可行的。 从出发，沿下降方向作一维有哪些信誉好的足球投注网站： s.t. 求得，令，由于，且为下降方向，因此有 得到后，再重复以上过程。关于F-W算法的收敛性，在此不作证明，大家可进一步查阅有关文献。 对F-W方法的评价： F-W算法的每一次迭代中，有哪些信誉好的足球投注网站方向总是指向某个极点，并且当迭代点接近最优解时，有哪些信誉好的足球投注网站方向与目标函数的梯度趋于正交，这样的有哪些信誉好的足球投注网站方向并非是最好的，因此算法收敛较慢。但是，这种方法能把求解非线性规划问题转化为求解一系列的线性规划问题。 一般而言，F-W算法主要由两个部分组成，一是在每次迭代中确定有哪些信誉好的足球投注网站方向，二是确定有哪些信誉好的足球投注网站步长。而确定有哪些信誉好的足球投注网站方向相当于求解一个满足相应约束条件的线性规划问题，这在理论上当然很容易求解，但是对于大规模的网络来说，求解这