经典高等数学课件D2-2求导法则.pptVIP

* 回顾： 2.点导数的定义 3.导数定义: 4.点导数与导函数的关系: 6.求导公式 (在定义域内可导) 第二节 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、函数的和差积商的求导法则 函数的求导法则 第二章 一、函数的和差积商的求导法则 定理1. 的和、 差、 积、 商 (除分母为0的 点外) 都在点 x 可导, 且有公式： 证: 则有 故结论成立. 同理可证其它法则 (1),(2)可推广到有限个 ( C为常数 ) 例1. 解: 例2. 求证 证: 类似可证: 说明 ： 1) 定理(公式)有条件,结论有两个①可导② 公式. 3) 4) 如： 2)逆命题,否命题均不成立. 可导 可导=可导；可导 不可导就不一定可导. 注意：可导 可导=可导；可导 不可导就一定不可导. 想一想,看一看： 于是 二、反函数的求导法则 定理2. 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例3. 求反三角函数的导数. 解: 设 则 , 则 类似可求得： 利用 在点 x 可导, 三、复合函数求导法则 定理3. 复合函数 且 在点 x 可导, 证: 在点 u 可导, 故 故有 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导, 即 或 即 乘以中间变量对自变量求导. 例如, 2.关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 1.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. ------链式法则 说明： 如: 复合而成. 例4. 解: 设 则有 复合函数的求导法则有三个步骤： (1)分解复合函数,分解到基本初等函数或 (2)按锁链法则进行计算. (3)把中间变量回代到原来的变量. 注意： (1)关键是分解,分解原则:各个分函数的导数可求. (2)熟练后这种分解可省去,即省去中间变量. 简单函数为止. 例5. 设 解: 例6. 解: 已知 例7. 设 解: 解: 注意： 对幂指函数需要变形后才能进行求导， 否则无法求出. 例8. 已知 如 求下列函数的导数： 为使求导简单,可先变形后求导. 解: 可分解为 例9. 例10. 解: 说明：