组合数学-13.1.2 克鲁斯卡尔定理的证明.pptVIP

13.1.2 定理13.1的证明 如何证明 假设:这个算法终止于T有n-1条边 那么根据定理3.20： 假设G是一个有n个顶点和e条边的图。那么G是树当且仅当G没有回路且n=e+1. 证明T是一棵树，是G的一棵支撑树。 因此，G是连通的图 若算法将终止于没有找到有n-1条边的集合T。 则G是非连通的图 分为两部分证明 1.当G为连通图时 2.当G为非连通图时 定理13.1 ： 如果G是n个顶点的联通网络，Kruskal算法将终止于一个有n-1条边的最小支撑树T。 如果G是非连通网络，那么算法在检查所有边之后，T中仍没有n-1条边，这时它将停止并输出G是非连通的信息。 证明思想： 1.若G是连通的： (1)证明这个算法的确给出的是支撑树 (2)证明这个支撑树是最小的。 2.若G是非连通的 证明算法终止时没有给出有n-1条边的T 证明： 1.当G为连通的 (1)若算法给出有n-1条边的T 那么根据定理3.16： 假设G是一个有n个顶点和e条边的图。那么G是树当且仅当G是连通的且n=e+1. 则能证明算法给出的T是支撑树 (2)想要证明Kruskal生成的支撑树T是最小支撑树 1 2 5 4 6 3 5 6 9 19 11 26 21 1 2 3 4 5 6 5 6 11 14 14 14 18 16 16 要证明支撑树T是最小的。 反证法: 假设T不是最小支撑树 假设S是G的一棵最小支撑树 S≠T e1(x,y):为第一条在T中而不在S中的边 这时会出现两种情况 情况1：e1的权值e2的权值 情况2：e1的权值e2的权值 Kruskal生成的支撑树T 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 11 e1 假设的最小支撑树S 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 e2 x y X Y S中存在一条简单链C(x,y),与e1(x,y)构成回路 在链C(x,y)中存在一条在S中但不在T中的边e2 情况1：e2的权值e1的权值 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 11 e1 Kruskal生成的支撑树T 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 假设的最小支撑树S 9 e2 因为e1是第一条在T中但不在S中的边 所以T中在e1之前被找到的边也一定在S中出现 既然e2e1，为什么T选择了e1却没选择e2 因为e2与e1之前出现的边形成了回路，所以T选择了边e1 因为S是支撑树，S中不能有回路 所以与假设矛盾 那么情况1不成立 情况2：e1的权值e2的权值 S′:是从S中去除边e2，加上边e1的边的集合 S′=S-e2+e1(权值) 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 假设的最小支撑树S 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 e2 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 支撑树S’ 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 e2 e1 情况2：e1的权值 e2的权值 S′=S-e2+e1(权值) 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 假设的最小支撑树S 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 e2 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 支撑树S’ 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 又因为S是最小支撑树 所以S’权值和=S权值和 所以S’就是最小支撑树 因为S为最小支撑树 所以e2的权值至少与e1的权值一样大 e1 情况2：e1的权值≤ e2的权值 因为e2 ≥ e1(权值) 所以 S’的权值和=S的权值和 情况2：e1的权值e2的权值 ≤ 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 e1 支撑树S’ Kruskal生成的支撑树T 11 e1 图中，支撑树S’与Kruskal生成的支撑树T相同 就可以证明T是最小支撑树。 这是当T=S’的情况，证明完毕。 11 当 T≠S’时，再继续找 第一条在T中但不在S’中的边e1’ 不在T中但在S’中的边e2’ S”=S’-e2’+e1’ 按照以上的方式重复做，直到找到T=S”为止 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 1 2 5 4 6 3 6 1 2 5 4 6 3 14 16 5 6 e1 支撑树S’ Kruskal生成的支撑树T 11 e1 情况2：e1的权值