线性代数与解析几何——行列式.ppt

* 我们再利用这个例子计算两个式子: 例2 计算 阶行列式 （教材P14例题4.3） 解 将第 列都加到第一列得 例3 设 证明 证明 对 作运算 ，把 化为下三角形行列式 设为 对 作运算 ，把 化为下三角形行列式 设为 对 D 的前 k 行作运算 ，再对后 n 列作运算 ， 把 D 化为下三角形行列式 故 (行列式中行与列具有同等的地位, 凡是对行成立的性质对列也同样成立). 计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 三、小结 行列式的6个性质 计算4阶行列式 思考题 思考题解答 解 §6 行列式按行(列)展开 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式. 一、引言 结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示. 思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？ 例如 把 称为元素 的代数余子式． 在n 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划后，留下来的n－1阶行列式叫做元素 的余子式，记作 . 结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式. 引理 一个n 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ．(定理5.1部分) 例如 即有 又 从而 分析 当 位于第1行第1列时, 而 展开式中全为形如 的项，每一项所带 的符号是 。显然 从而 。 证 由于 ，结合行列式的定义知 下面考虑一般情形。首先我们以4阶行列式为例. 思考题：能否以 代替上述两次行变换？ 思考题：能否以 代替上述两次行变换？ 答：不能. 被调换到第1行，第1列 下面证一般情形。即证明 将D的第i行依次与它上面的各行作对换，直至换至第一行；然后再将第j列依次与它前面的各列作对换，直至被换到左上角的位置. 于是 二、行列式按行（列）展开法则 定理3 n阶行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 或者 （P16定理5.1） 同理可得 例 计算n阶行列式（教材P18例题5.1） 分析 分析 证明 用数学归纳法 例 证明n阶范德蒙德(Vandermonde)行列式 所以n=2时(1)式成立. 假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行 减去前行的 倍： 按照第1列展开，并提出每列的公因子 ，就有 n?1阶范德蒙德行列式 * 例 设 通过按第1行展开求 D 的值. 解 一、概念的引入 规律： 三阶行列式共有6项，即3!项． 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积． 每一项可以写成 （正负号除外），其中 是1、2、3的某个排列. 当 是偶排列时，对应的项取正号； 当 是奇排列时，对应的项取负号. 所以，三阶行列式可以写成 其中 表示对1、2、3的所有排列求和. 二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形. 二、n 阶行列式的定义 n 阶行列式共有 n! 项． 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积． 每一项可以写成 （正负号除外），其中 是1, 2, …, n 的某个排列. 当 是偶排列时，对应的项取正号； 当 是奇排列时，对应的项取负号. 简记作 ， 其中 为行列式D的(i, j)元 思考题： 成立吗？ 答：符号 可以有两种理解： 若理解成绝对值，则 ； 若理解成一阶行列式，则 . 注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 . 因为数的乘法是可以交换的，所以 n 个元素相乘的