线性代数-1.1 行列式的定义.ppt

例7 计算行列式 解： 几种特殊的行列式 这一系列格式行列式的值为 这一系列格式行列式的值为 几种特殊的行列式 例9 用行列式的定义计算 解 Dn 定理1.1 设D是n阶行列式，则对任意的j(1?j?n)，都有 D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj = = 四、小结 §1.1 行列式的定义 二阶行列式的定义 三阶行列式 n 阶行列式 小 结 用消元法解二元线性方程组 两式相减消去 ，得 一、二阶行列式 1、引入 类似的，消去 ，得 方程组的解为 由方程组的四个系数确定. 当 时， 2、定义 Def 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 所确定的表达式 称列）的数表 称为二阶行列式，记为 主对角线 副对角线 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 3、计算 1）对角线法则 行标 列标 记 记 若D?0，则二元线性方程组的解为 系数行列式 系数行列式 今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两，问牛羊各直几金？ 例1 解：牛羊分别直 金，记 1、定义 二、三阶行列式 （6）式称为数表（5）所确定称为三阶行列式. 记为 构成数表 （5） （6） 确定一个表达式， 由九个数排成三行三列（横排称行、竖排称列） 2)沙路法 2、计算 1)对角线法则 以上两种方法只适用于二阶与三阶行列式. 解: 按对角线法则，有 例2 求行列式 解: 按对角线法则，有 例3 求解方程 所以 1、概念的引入 三、n阶行列式 二阶行列式 三阶行列式 分析 二阶行列式共有 项，即 项． 每项都是位于不同行不同列的（二）三个元素的乘积． 每项的正负号都取决于位于不同行不同列的（二）三个元素的下标排列． 三阶行列式共有 项，即 项． n 阶 行 列 式 猜 想 阶行列式是 项的代数和; 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列的 个元素的乘积; 2、定义 简记作 ，数 称为行列式的元素. 说明： 行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的； 阶行列式是 项的代数和； 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积； 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆. 4. 用Mij表示n阶行列式D中划去第i行、第j列元素后剩下的 n-1行n-1列元素组成的n-1阶行列式，即 Mij＝ a11 … a1j-1 a1j+1 … a1n . . . . . . . . . . . . ai-11 … ai-1j-1 ai-1j+1 … ai-1n ai+11 … ai+1j-1 ai+1j+1 … ai+1n . . . . . . . . . . . . an1 … anj-1 anj+1 … ann 称为元素aij的余子式，称Aij=(-1)i+jMij为元素aij的代数余 子式 例如三阶行列式 1 0 4 0 1 2 1 3 1 中元素a32的余子式和代数余子式分别为 1 4 M32= 0 2 =2， A32=(-1)3+2M32=-2 定义1.1 n阶行列式的值的定义 D= a11， 当n=1时 a11A11+a21A21+…+ai1Ai1+…+an1An1，当n1时 (8) (8)式称为D依第一列的展开式。 这种将n阶行列式降为n-1阶行列式的方法称为降阶法。 当n=3时， a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 D= =a11A11+a21A21+a31A31 =a11 a22 a23 a32 a33 -a21 a12 a13 a32 a33 +a31 a12 a13 a22 a23 2 -1 3 -1 2 1 4 1 2 (1) 例2 求下列行列式的值 3 2 7 0 5 2 0