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一、对角矩阵 五、小结 * * 3.6 几种常用的特殊矩阵 对角矩阵 准对角矩阵 三角矩阵 对称矩阵与反对称矩阵 小结 可简记为 定义1 如果 阶方阵 中的元素满足， 则称 对角矩阵． 即： 对角矩阵的运算有下列性质： （1）同阶对角矩阵的和、差以及数与对角矩阵的乘积仍是对角矩阵． （2）对角矩阵的转置仍是对角矩阵，且 （３）任意两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵，并且它们是可以交换的． （5）对角矩阵可逆的充分必要条件是它的主对角元素都不等于零．且 可逆时，有 (4) ⑹ 对角矩阵 称为 阶数量矩阵， 数量矩阵有性质： 用数量矩阵左乘或右乘（若可 乘）一个矩阵 其乘积等于用数 乘矩阵 记为 二 准对角矩阵 定义2 形如 的分块矩阵， 称为准对角矩阵． 其中主对角线上的 都是小方阵，可简记为 对角矩阵可作为准对角矩阵的特殊情形． 如下列矩阵都是准对角矩阵： 准对角矩阵具有下列性质： （1）两个具有相同分块的准对角矩阵的和、差、数与准对角矩阵的乘积仍是准对角矩阵． ⑵准对角矩阵的转置仍是准对角矩阵，但是（一般） ⑶准对角矩阵的乘积仍是准对角矩阵，但是（一般） ⑷准对角矩阵可逆的充分必要条件是 ⑸ 三 三角形矩阵 定义3 形如 的 阶方阵， 即主对角线下方的元素全为零的方阵称为上三角形矩阵． 形如 的 阶方阵， 即主对角线上方的元素全为零的方阵称为下三角形矩阵． 上（下）三角形矩阵具有下述性质： （1）若 是两个同阶的上（下）三角形矩 阵，则 仍为上（下）三角形矩阵； （3）上（下）三角形矩阵可逆的充要条件是 它的主对角元都不为零． 当上（下）三角形矩阵可 逆时，其逆矩阵仍为上（下）三角形矩阵． （2） 四 对称矩阵与反对称矩阵 定义4 如果n阶矩阵A满足 则称 为对称矩阵． 由定义知，对称矩阵 中的元素 因此，对称矩阵的形式为 对称矩阵有下列性质： （1）如果 是同阶对称矩阵，则 也是对称矩阵． （2） 可逆对称矩阵 的逆矩阵 仍是对称矩阵． 注意 两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵． 例如 均为对称矩阵， ? 但 不是对称矩阵． 定义5 如果 阶方阵 满足 则称 为反对称矩阵． 由定义知，反对称矩阵 中的元素满足 因此，反对称矩阵主对角线 上的元素一定为零．即反对称的形式为： 根据反对称矩阵的定义，易证以下性质： （1）若 是同阶反对称矩阵，则 都是反对称矩阵． （2）可逆的反对称矩阵的逆矩阵仍是反对称矩阵． （3）奇数阶反对称矩阵不可逆，因为奇数阶的 反对称矩阵的行列式等于零． 注意 两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵． ? 例1证明： 为对称矩阵，则 对称 反对称 证明： 例2 对称 ， 反对称，证明 反对称。 证明：