线性代数习题-56.pptVIP

计算题 5、 A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且 （1）求A的所有特征值与特征向量 （2）求矩阵A 6 设 ， ， P –1 A*P=B， 求矩阵（B+2I）的特征值与特征向量。 计算题5 计算题 7设二次形2y12 +by22?y32 是由二次形 f(x1, x2, x3)=2x1 2+2x2 x3+ax32通过正交变换X=QY得到的。 求参数a 和 b。 求正交矩阵Q 计算题 已知二次形 q（x1，x2，x3）=5x1 2+ 5x2 2 +ax32 ?2x1 x2 +6x1 x3 ? 6x2x3的秩为2， 求参数a 指出q（x1，x2，x3） =1表示何种曲面 证明题 设矩阵A是(n?n) 正定矩阵. 证明 | I+A | 1. 2. 设 A=(aij) 是一个(n?n) 对称矩阵. 如果主对角线上的元素 aii 0 ， ajj 0, i ? j, 则 A 是不定的. 证明题3 设A是3阶矩阵，?1和?2是A的分别属于特征值?1，1的特征向量，向量?3满足： A?3 =?2 +?3 ， （1）证明?1 ，?2，?3线性无关 （2）令P=（?1 ，?2 ，?3 ）求P ?1 AP。 证明题 设矩阵A为n阶对称矩阵,考虑函数R(x) R(x)= , x ? 0. 如果矩阵A的特征值 ?1, ?2,…, ? n, 排序为 0 ?1? ?2 ? … ? ? n. 证明 ?1 ? R(x) ? ? n. 证明题 Let A be an (n×n) nonzero matrix and there exist a positive integer k such that A k =0. Prove that The all eigenvalues of A are zero. A is not diagonalizable. * 线性代数课程考试信息 考试时间：2014年1月16日， 上午8：30～11：00 考试地点：东九楼 A 107, A203, A 209, A211, A212, A213, 考试答疑：1月日，上午下午 科技楼南602# 习题-56 矩阵相似 二次型 第5章学习要点： 特征值的求法： 定义：?数? 和向量X?0，AX=?X. 求特征多项式??I?A?=0的根 已知矩阵A的特征值?,则矩阵多项式g(A)的特征值为g(?). 如果A满足条件g(A)=0,则A的特征值满足条件g(?)=0. 特征向量的求法: 定义：使AX=?X的非零向量X. 线性方程组(?I-A)X=0的非零解. 第5章学习要点： 矩阵的相似关系 矩阵的相似不变性: A?B (P-1AP=B),则有 r(A)=r(B) ?A?= ?B? ? ? I-A?= ? ? I-B? … 矩阵相似对角矩阵的充要条件 n阶方阵有n个线性无关的特征向量 矩阵的t重特征值有t个线性无关的特征向量 n ? r(?iI?A)=t 矩阵相似于对角矩阵的求法 第5章学习要点： n阶方阵 V.S. n阶实对称矩阵 ?n阶方阵的特征值有可能为复数. ?n阶实对称矩阵的特征值是实数. ?n阶方阵对于不同特征值的特征向量线性无关. ?n阶实对称矩阵对于不同特征值的特征向量正交. ?n阶方阵不一定相似于对角矩阵. ?n阶实对称矩阵一定相似而且可以正交相似于对角矩阵. 第6章学习要点： 二次型的矩阵表示 n个变元二次型的矩阵是n阶实对称矩阵. 二次型的秩被定义为矩阵的秩. 二次型化为标准形的问题等价于是对称矩阵合同于对角矩阵的问题 矩阵的特征值可导出矩阵的惯性指数 二次型正定当且仅当矩阵是正定矩阵. 实对称矩阵的合同关系: 合同的定义 合同的不变性:秩, 对称性,惯性指数,正定性 矩阵合同的充要条件是惯性指数相同. 第6章学习要点： 二次型化为标准型的方法 行列对称初等变换法: 可将二次型化为标准形,标准形不唯一. 可将二次型化为规范形,规范形是唯一的. 图形的形状会改变. 正交变换法 只能将二次型化为标准形,标准形由矩阵的特征值确定. 图形的形状不改变. 第6章学习要点： 二次型的正定性 n元二次型f=XTAX正定的充要条件 二次型的正惯性指数为n 矩阵的特征值全部大于零