线性代数5-3,4相似矩阵2.pptVIP

§3 相似矩阵（—矩阵之间的又一种关系） 二、相似矩阵的性质 6o 定理3(P121) 证 三、矩阵可相似对角化的概念与条件 定理的证明 四、相似对角化的方法 例、 例11（p123) §4 实对称矩阵的对角化 一般矩阵相异特征值所对应的特征向量线性无关 特征值λ 的重数k ≥ λ对应的线性无关的特征向量的个数 用可逆矩阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤： 由实对称矩阵的相异特征值的特征向量正交， 用正交矩阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤： 例12(P.125) * * * * 的相似矩阵， 定义7(P.121 ) 一 、相似矩阵 相似变换阵. 相似变换 又称A与B相似. A~B —存在可逆阵P,Q, 使得 PAQ=B 对方阵A和B，若存在可逆阵P, 当然A与B的关系更密切， 称作相似. 2o 矩阵相似具有自反性、对称性、传递性. 1o A与B相似 ？ A与B等价. 相似与等价的关系 ? ? 3o 与数量阵kE相似的矩阵只有kE. 4o A与B相似 ,则 5o A与B相似 相似矩阵有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值. 这表明A与B 有相同特征值 设 A与B 相似， 反之不然，特征值相同的矩阵不一定相似! 推论(P.122) 矩阵 A与对角阵Λ相似, 不一定！ 考虑方阵与对角阵 相似的条件！ 关于对角阵已经有了一些结果，需要进一步的研究 解决了矩阵 A与对角阵Λ相似时, Λ的求法! 则 (p122)对一般矩阵A， 是A的特征多项式，　　　　 当 与 相似时,容易证明 哈密尔顿-凯莱定理（难证） 可逆, 是A的特征值 O 若矩阵 A与对角阵Λ相似, 则称矩阵 A可相似对角化. 2、条件 n 阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件为 A 有n 个线性无关的特征向量. 矩阵 A可相似对角化时， 相似变换阵P为对角相似变换阵. 推论1：若A有n个相异特征值 ,则A可相似对角化. 推论2：若A有r(n)个相异特征值 , 解空间的维数等于 则A可相似对角化 定理(P.123定理4） 1、概念 否则,不可。 即存在P可逆,使 ， 线性相关性？ A与对角阵相似 ? A有n个线性无关的特征向量 P 的列向量 是A的属于特征值 的特征向量 由充分性证明知，若已知A 的 n 个线性无关的特征向量 对角相似变换阵. 1、求A的特征值： (n个特征值相异时，一定可对角化); 2、设相异特征值为： 若每个方程组解空间的维数都分别 则A可对角化； 若某一个方程组解空间的维数 则A不可对角化； 3、A可对角化时， 令 解 P = ? 可对角化时， 相似变换阵不惟一， 变成的对角阵也不惟一; 不计对角线上的元素的顺序，则惟一确定 ——A的特征值. 分析例5，例6，例7中矩阵是否可对角化？ 问x为何值时，矩阵A能对角化？并在可对角化时，求可逆矩阵P，使 为对角阵. 因此，当X=-1时，矩阵能对角化. 什麽矩阵一定有n个线性无关的特征向量呢？ 实 对 称 阵 ！ 对称矩阵 实矩阵 A为实对称矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量有特殊好的性质 定理5(P.124) 实对称矩阵的特征值都是实数. 特征向量也可取为实向量 一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 证明P.124 （自学） 定理5(P.126) 实对称矩阵的特征值都是实数. 证 两式相减： 非实对称阵的特征值 不一定是实数！ 实对称矩阵的相异特征值所属的特征向量必正交。 证 定理6 (P.124) 但 不 能 保 证 它 们 是 正 交 的, 而—— 证毕 n – R(A–λE) 个 若 n 阶矩阵 A 的 k 重特征值λ 所对应的线性无关的特征向量恰好有 k 个 一般矩阵A 二、实对称矩阵的相似对角化 矩阵A一定有n个线性无关的特征向量 矩阵 A一定可以相似对角化 实对称矩阵 A 的 k 重特征值 所对应的线性无关的特征向量恰有 k个 实对称矩阵一定可以相似对角化 定理 实对称阵A 一定与对角阵相似. 推论(P.125) n 阶实对称矩阵 A 的 k 重特征值 λ 所对应的线性无关 的特征向量恰有 k 个。 即 定理不证 （含有重特征值）。 作为可对角化的必要条件证明 推论(P.125) 由定理知， 对称阵A与对角阵