第四章第三节可降阶的高阶微分方程.doc

第四章第三节可降阶的高阶微分方程 基本内容 1．型的微分方程：右端仅含有自变量，只要把作为新的未知函数两边积分，就得到一个阶的微分方程，连续积分次,便得到了方程的含有个任意常数的通解。 2. 型的微分方程：右端不明显地含未知函数，作变量替换 ，则。方程可化为，这是一个关于变量的一阶微分方程，可求出其通解为。由,又得以一个一阶微分方程，其通解为。 3. 型的微分方程：右端不明显地含自变量.作变量替换,利用复合函数求导法则,可将写成。方程可化为 。这是一个关于变量的一阶微分方程，通解为。分离变量，得到，两边同时积分得到方程的通解 。 这便得到方程的通解. 习题选解 求下列微分方程的通解： （1） 解：积分得：， 再积分，得通解为： （2） 解：积分得：， 再积分，得通解为： （3） 解：积分得：， 再积分得：， 再积分一次，得通解为： （4） 解：设，则原方程可化为：，这是一阶非齐次线性方程，由求解公式，得： 再积分，得： （5） 解：设，则原方程可化为：，这是可分离变量微分方程，分离变量，得：，积分，得：，即=，（这里假设，另外一种情况要另行考虑）其中，对积分，得通解为： （6） 解：设，则，原方程可以化为，这是一个可分离变量方程。分离变量，得：，两边积分，得：，即，这里假设，另外一种情况要另行考虑。从而可得：，再积分，得通解为：，即 （7） 解：设，则，原方程可以化为，分离变量，得：，积分，得：，从而，分离变量，得：，积分，得通解为：，即，其中。 （8） 解：设，则，原方程可以化为=，分离变量，得：，积分，得：，解得，再分离变量，得：，积分，得通解为：，即，其中。 2． 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 （1）， 解：设，则原方程可化为：，即，这是贝努利方程，两边同时除以，得：，设，则，代入前一式，得：，这是一阶非齐次线性方程 ，代入，得，从而 =，积分得：，代入，得，所以特解为 （2）， 解：设，则，原方程可以化为：，分离变量，得：，积分得：，代入初始条件时，，得，从而，，积分，得，代入条件，得=，所以，特解为 （3）=， 解：设，则，原方程可以化为：，分离变量，得：，积分，得：，代入初始条件时，，得，从而，，积分，得：，代入条件，得=，所以，特解为：。 （4）， 解：设，则，原方程可以化为：，分离变量，得：，积分，得：，代入初始条件时，，得=，从而，分离变量，得：，积分，得：，代入条件，得：得=，所以特解为，即 3．设函数（）二阶可导，且，过曲线上任一点作该曲线的切线及轴的垂线，上述直线与轴所围成的三角形的面积为，区间上以为曲边的曲边梯形面积为，并设恒为，求此曲线的方程。 解：因为曲线上点的切线方程为：，其中表示切线的坐标，令，得切线在轴上的截距为，由题意，有：，（因为），，由，得：，再由条件，得，前式两边对求导，化简得：，设，则，方程可以化为：，分离变量，得：，积分，得：，代入初始条件时，，得，从而，分离变量，得：，积分，得：，代入条件，得=0，所以所求曲线为，即。 第四章第四节二阶线性微分方程的一般理论 基本内容 1. 二阶线性微分方程：形如的微分方程称为二阶线性微分方程。当时，方程叫做齐次的；否则,方程叫做非齐次的. 2.线性齐次方程解的结构：如果函数与是方程的两个解，则也是方程(2)的解，其中是任意常数。 3.线性齐次方程的通解结构定理：如果与是方程的两个线性无关的特解，则为方程的通解。 4.非齐次方程解的结构：是非齐次方程的一个特解，是与对应的齐次方程的通解，则是二阶非齐次线性方程(1)的通解。 5.特解性质：与分别是二阶非齐次线性微分方程与 的特解,则是二阶非齐次线性微分方程 的特解。 6.常数变易法 习题选解 1．下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的? （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 解：（1）线性无关 （2）线性无关 （3）线性无关 （4）线性无关 （5）线性无关 （6）线性相关 （7）线性无关 （8）线性无关。 2．验证，都是方程解，并写出该方程的通解。 解：由，得，，从而，所以 是方程的解。再由，得， ，从而，即是方程的解。又 ，线性无关，所以方程的通解为 ，其中为两个任意常数。 3．验证，都是方程解,并写出该方程的通解。 解：容易验证，都是方程的解，并且，线性无关，所以方程的通解为： ，其中为两个任意常数。 4．验证是方程通解。 解：因为，是齐次方程的解，并且，线性无关，所以+是齐次方程的通解，又是非齐次方程的一个特解，所以由非齐次方程解的结构定理，得 ++是非齐次方程的通解。 5．设，都是方程的解,试证:为方程 解。 解：直接代入验证可得结论成立。 6．设都是方程解,求及方程的通解。 解：因为函数是齐次方程的解，代入方程，得：，再将代入，得：。 第四