第四章2(换元积分法).ppt

第二节 换元积分法 直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧.本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法—换元积分法和分部积分法. 第一类换元法 设 则 ——换元法积分公式 定理1： 则有换元 化为 这样求函数g(x)的积分就转化为求f(u)的积分. 说明： 使用此公式的关键在于将 公式 （也称配元法，凑微分法） 即 凑微分法的基本步骤： 凑微分；换元求出积分；回代原变量 解：（一） 例 1： （二） （三） 凑微分时，观察重点不同，所得结论的形式不同. 解： 一般地 例 2： 例 4： 例 5： 例 6： 例 9： 例 10： 例 8： 启示： 当被积函数是三角函数相乘时，往往需要用到一些三角不等式. 例 11： 例 13： 例 15： 例 17： 例 12： 例 14： 例 16： 例 18： 例 19： 例 20： 第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法,不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循,只能具体问题具体分析.要掌握好这种方法,需要熟记一些函数的微分公式,并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形,拼凑出合适的微分因子. 例 22： 例 23： 例 21： 例 24： 问题： 解决方法： 直接换元 过程 令 （应用“凑微分”即可求出结果） 第二类换元法 是单调可导函数 ,且 具有原函数 , 则有换元公式 定理2： 例 1： 解:令 则 ∴ 原式 例 2： 例 3： 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令 注意：所作代换的单调性。对三角代换而言， 掌握着取单调区间即可。 例 4： 例 6： 例 5： 例 7： 积分表二 作业 红字题