第四章 第二讲 相似矩阵与矩阵的对角化.pptVIP

* * * * 第二讲 相似矩阵与矩阵对角化 知识结构: 相似矩阵的概念与性质 矩阵的对角化 一、相似矩阵的概念与性质 定义1 设 A 、B都是n阶方阵，若有可逆方阵 P，使 则称 B 是 A 的相似矩阵。或者说矩阵 A 与B 相似。对A进行运算 P－1AP 称为对 A 进行相似变换。可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换阵。A~B A ~ B 等价关系 证明 推论1 若n阶方阵A与对角阵 推论2 若A~B，则|A|=|B|, tr(A)=tr(B)。 定理2 若A~B，则r(A)=r(B)。 练习： P127 2、4。 思考： k个 问题：对于 n 阶方阵 A，如何寻找相似变换矩阵 P，使 P－1AP = Λ 成为对角形？ 二、矩阵的对角化 证明 = =√ 命题得证. = 例2 已知矩阵 有特征值 0(二重)和-2，对应的特征向量分别为 解：因 矩阵A是否可对角化? 故这三个特征向量线性无关。于是A可相似对角化。 以三个特征向量为列构造矩阵 则 注意：特征值与特征向量要相对应摆放。 例3 已知 问 A可否相似对角化？ 解 ∵ ∴ A有特征值 ，特征值互不同，因此它们 对应的特征向量线性无关，因此A可相似对角化。 　　　 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等， 则A与对角阵相似． 推论1 练习：P132 4(1)并求相似变换与对应对角矩阵。 例4: 求矩阵A = 的特征值和特征向量. 解: 矩阵A的特征多项式为: | A–?E | = = (2–?)(1–?)2, 所以A的特征值为: ?1=2, ?2=?3=1. 当?1=2时, 解方程组( A–2E )x = 0. 由 得特征向量 当?2=?3=1时, 解方程组( A–E )x = 0. 由 得特征向量 因为A 只有两个线性无关的特征向量，所以A 不能与对角阵相似。 其两个特征值 -2与0（二重）对应的特征向量分别 例5 已知 以上两例说明: 如果A的特征方程有重根, 此时不一定有n个线性无关的特征向量,从而矩阵A不一定能对角化. 但如果能找到n个线性无关的特征向量, 则A可以对角化. 推论2 ：n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是A 的每一个k 重特征值 l 对应有 k 个线性无关的特征向量( 即矩阵A－lE 的秩为n － k)。 由方程组 Ax=0 的基础解系含有的向量的个数与 系数矩阵的秩的关系，易知： 解 例6 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 综上知对于特征值 均满足推论2的条件，所以矩阵A可以对角化。 故A不能化为对角矩阵. 练习： 已知 问 满足什么条件时，A可对角化？ 解 首先 所以，A的特征值为2和1（二重）。 考虑A的特征值1。对 ，当且仅当秩 时，矩阵A才可以对角化。 此时 故 。 所以，当 时，A可对角化。