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第十五讲 综合型动态问题 1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在2＜x ＜－1这一段位于直线l的上方，并且在2这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．1）当x＝0时，y＝－2，∴A（0，－2） ∵y＝mx 2－2mx－2＝m( x－1 )2－m－2 ∴抛物线的对称轴为直线x＝1∴B（1，0） （2）由题意，点A关于直线x＝1的对称点为A′（2，－2） 则直线l经过点A′、B设直线l的解析式为y＝kx＋b 则 解得 ∴直线l的解析式2x＋2 （3）抛物线的对称轴为x＝1，直线AB和直线l也关于直线x＝1对称 ∵抛物线在2＜x ＜3这一段位于直线AB的下方 ∴抛物线在－1＜x ＜0这一段位于直线l的下方 又∵抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l的上方 ∴抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1 当x＝－1时，y＝－2×(－1 )＋2＝4∴抛物线过点（－1，4） ∴m＋2m－2＝4，∴m＝2 与在－1＜x ＜0这一段关于对称轴对称 结合图象可以观察到抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l的上方 在－1＜x ＜0这一段位于直线l的下方 ∴抛物线与直线l的交点横坐标为－1 当x＝－1时，m＋2m－2＝4，∴m＝2 ∴抛物线的解析为y＝2x 2－4x－2 2．xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB＝60?，则称P为⊙C的关联点．D（ ， ），E（0，－2），F（2，0）．O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的关联点是___________；过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO＝30?，若直线l上的点P（mn）O的关联点，求m的取值范围； （2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．D、E ②当OP＝2时 过点P向⊙O作两条切线PA、PB（A、B为切点），如图1 则∠APB＝60? ∴点P是⊙O的关联点 事实上，当0≤OP ≤2时，点P是⊙O的关联点 当OP ＞2时，点P不是⊙O的关联点 ∵F（2，0），且∠GFO＝30? ∴∠OGF＝60?，OF＝2，OG＝2以O为圆心，OG为半径作圆 设该圆与直线l的另一个交点为M，如图2当点P在线段GM上时，OP ≤2，点P是⊙O的关联点 当点P在线段GM的延长线或反向延长线上时，OP ＞2，点P不是⊙O的关联点 连接OM，可知△GOM为等边三角形 过点M作MN⊥x轴于点N 可得∠MON＝30?， ∴0≤m ≤ （2）设该圆的圆心为C由（1）②P是⊙C的关联点，则0≤PC ≤2r ∵线段EF上的所有点都是⊙C的关联点 ∴EC ≤2r，FC ≤2r ∴EC＋FC ≤4r 又∵EC＋FC ≥EF（当点C在线段EF上时，等号成立） ∴4r ≥EF ∵E（0，－2），F（2，0），∴EF＝4 ∴4r ≥4，∴r ≥1事实上，当点C是EF的中点时，对所有r ≥1的⊙C，线段EF上的所有点都是⊙C的关联点 综上所述，该圆的半径r的取值范围是r ≥1 3.如图，直线与抛物线交于、两点在的左侧与抛物线的顶点为抛物线的对称轴与直线交于点．若为直线上一动点，求△APB的面积；ODM是菱形时，求点的坐标作点关于直线的对称点′，以为圆心，为半径上一点，′＋ QB的最小值． 解得 ∵A在的左侧 ∵y＝x 2－2mx＋m 2＋m＝( x－m )2＋m，∴D（m，m） ∴∠DOx＝45°，∴∠COD＝45° ∵直线与直线的解析式为∵直线的解析式为，∥OD ∴直线之间距离 OC＝ ∴S△APB ＝ AB·h＝ ×3×＝3 （2）∵AB∥OD，OC∥DM，∴四边形CODM是平行四边形 若四边形CODM是菱形，则OD＝OC ∴2m 2＝2 2，∴m＝± ∴点的坐标，）或（－，－） （）ODM是平行四边形 ∴MQ＝MD＝OC＝2 ∵A（m－1，m＋1），B（m＋2，m＋4） ∴点B到对称轴的距离为m＋2－m＝2，∴MB＝2 取MB中点E，则ME＝ ∴MQ 2＝4＝ME·MB，又∠QME＝∠BMQ ∴△QME∽△BMQ，∴ ＝ ＝ ∴QE＝ QB ∴QB′＋ QB的最小值′＋QE的最小值′E的直线点关于直线的对称点′ ∴∠B′MF＝∠BMF＝45°，MB′＝MB＝2 ∴∠B′MB＝90° ∴B′E＝ ＝ ＝ 4.在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且AB10． （1）如图1以AB为斜边作等腰ABC，当点C在第一象限时，求直线OC所对应的函数的解析式； （2）（3）如图2，M为AB的中点，D、E分别x轴、y轴负半轴上的，且DE10，以