第六章 多元函数微积分课外习题.doc

第六章 多元函数微积分 §6.1 空间解析几何简介 填空题 1. 点到坐标轴的距离为； 2. 以点为球心过点的球面方程为； 3. 将坐标面上的圆绕轴旋转一周所生成的球面方程是___________，且球心坐标是_____________，半径为___________； 4. 方程表示旋转曲面.，它的旋转轴是； 5.方程在平面解析几何中表示__________，在空间解析几何中表示___________； 6. 点到平面的距离为； 7. 过三点，，的平面方程为； 8. 在空间直角坐标系中方程表示； 9. 曲面在坐标面上的截痕是； 10. 双曲抛物面与坐标面的交线是； 11. 由曲面与所围成的有界区域用不等式组可表示为； 12. 用平面去截双叶双曲面，所得截痕是__________；若用平面截上述曲面所得截痕是 . 二、分别画出下列方程在平面和空间上的图形 （1） （2） （3） 三、画出下列各图 （1）坐标面上绕轴旋转而成的曲面； （2）； 由和所围立体的表面. 四、作出下列不等式所确定的空间区域 （1） (2) (3) (4). 五、指出下列方程所表示的曲线 (1) ； (2) . 六、画出下列曲线在第一卦限的图形： . §6.2 多元函数基本概念 一、填空题 1. 已知，则它的定义域是； 2. 若，则； 3. 若.； 4. 若，则； 5. 函数的间断点是______________； 6. 若； 7. 已知，则； 8. 函数的定义域是； 9. ； 10. . 二、叙述极限的定义. 三、求下列极限（包括非正常极限） （1）; (2) ; （3）; (4) ; （5）; (6) ; （7）; (8) ; （9）; (10) ; （11）; (12) ; （13）； （14）； 四、叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理. 五、证明. 六、证明：极限不存在. 七、讨论下列函数在点处的连续性 （1）； （2）； （3）； （4） 八、若在某区域内对变量连续，对变量满足利普希茨条件，即对任意和，有 ， 其中为常数，求证在内连续. 九、证明：若分别对每一变量和是连续的，并且对其中的一个是单调的，则是二元连续函数. §6.3 偏导数 填空题 1. 设，则； 2. 设，则； 3. 设，则； 4. 设，则； 5. 设，则； 6. 函数在点处的一阶偏导数是； 7. ，则它的所有二阶偏导数是； 8. ，则此三元函数的所有一阶偏导数是 ； 9．设在点处存在偏导数，则. 二、设 考察函数在(0,0)点的偏导数. 三、设函数 , 求. 四、 判断函数 , 在(0，0)处是否连续 五、证明: 函数 在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续. 六、证明函数在(0,0)点连续但偏导数不存在. 七、, 求. 八、求下列函数的所有二阶偏导数 (1) ； (2) ； (3) ； (3) . 九、求下列函数指定阶的偏导数： (1) ,求； (2) ，求所有三阶偏导数； (3) ,求，； (4) ,求； (5) ，求； (6) ,求. 十、验证下列函数满足 . (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 十一、设函数，证明 . 十二、. ，试化简. §6.4 全微分 填空题 1. 一元函数的可导与可微是的.但对多元函数而言，函数连续以及偏导数存在只是全微分存在的条件，而非条件； 2. 多元函数可微的充分条件是； 3. ，则它的全微分是； 4. ，则在点(1,0)和(0,1)处的全微分是 ； 5. 在点（0，1）处的全微分是 . 二、.求下列函数的全微分 （1） ； （2）设，求； （3），求当的全增量和全微分. 三、考察函数在(0,0)点的可微性，其中 四、证明函数 在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微. 五、证明函数 的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无界，而在原点(0,0)可微. 六、设 证明在(0,0)点可微，并求． 七、设很小，利用全微分推出下列各式的近似公式： (1) (2) . 八、.计算的近似值. 九、设在点的某邻域内存在且在点可微， 则有 . §6.5 复合函数微分法 填空题 1. 设而，则； 2. 设而，则； 3. 设,而