第二章 行列式(新).docVIP

第二章 行列式 　　第一章我们讨论了线性方程组的解法，那么能否将线性方程组的求解公式化（符号化）呢？借助于行列式，我们可以把方程的个数与未知量的个数相等的线性方程组的理论符号化．行列式最早出现于求解线性方程组，其名称最先由法国大数学家柯西（Cauchy，Augustin Louis，1789-1857）使用，它的理论体现了数学符号化的强大威力，而且行列式是常用的数学工具之一． 　　本章主要介绍阶行列式的定义、性质、计算及在线性方程组方面的应用． 引例 插值问题 给定平面上个点，其中互不相等．试构造一个次多项式曲线，使其通过给定的个点． 设所求次多项式为，其中为待定系数，则 （2.1） 问题归结为求解此线性方程组（注意该方程组中方程的个数与未知量的个数相等）． 第一节 阶行列式 一、二阶与三阶行列式 　　例1 当时，利用消元法求解二元线性方程组 （2.2） 解 由消元法，得等价方程组 则方程组的解为 　　引进记号 ， 则线性方程组（2.2）的解可以表示为 ． 定义1 由数构成的表达式，称为二阶行列式，记为 （2.3），或，或，其中表示二阶行列式中第行第列的元素．此定义也称为二阶行列式的对角线法则（如下图，其中由左上角到右下角的连线称为行列式的主对角线，由右上角到左下角的连线称为行列式的副对角线）．行列式的记号由英国数学家凯莱(Arthur　Cayley)于1841年给出． 图3 利用二阶行列式，令，称为方程组（2.2）的系数行列式，若记 ， 则线性方程组（2.2）的解可以表示为 ． （2.4） 例2 利用行列式求解线性方程组 解 ，，，得方程组的解为． 定义2 三阶行列式简记为，或，或，定义为 （2.5） 此定义也称为三阶行列式的对角线法则（如下图）. 图4 例3 计算三阶行列式． 解 ． 二、阶行列式 一般地，把个元素排成行列，称 为阶行列式，简记为，或，或．它表示一个数，称为阶行列式的值. 下面用归纳法给出阶行列式的定义．考察三阶行列式 ． 记 ， 令，则三阶行列式可以表示为 ． 　　定义3 在阶行列式中，将元素所在的行和列划去，剩下的元素不改变排列顺序，所构成的一个阶行列式，称为元素的余子式，记作；令 ， 称为元素的代数余子式． 例4 写出三阶行列式第2行第3列元素的余子式与代数余子式． 解 ． 定义4 当时，定义一阶行列式．若定义了阶行列式，则定义阶行列式为 （2.6） （2.6）式也称为阶行列式关于第一行的展开式。 根据以上得到（2.6）式的思想，阶行列式还可定义为 （2.7） （2.7）式也称为阶行列式关于第一列的展开式． 例5 计算三阶行列式． 解 ， 或 ． 例6 证明： （1）； 　 　　 （2.8） 　　（2）． 　　 （2.9） 　　证 （1）阶行列式时结论成立，则对阶行列式，由（2.6）式，有 ． 　　同理可证（2）． （2.10） 例7 证明副对角行列式 ．　　 （2.11） 　　证 利用数学归纳法．一阶行列式时，结论显然成立．设阶行列式时结论成立，则对阶行列式，由（2.7）式，得 　　　　 　　　　　． 　　类似可证明 ． （2.12） 　　需要说明的是，以上（2.8）、（2.9）、（2.10）、（2.11）、（2.12）式在行列式的计算中可作为公式使用． 思 考 题 一 1．四阶及四阶以上的行列式存在对角线法则吗？ 2．在给定行列式中，元素的余子式和代数余子式为什么仅与元素的位置有关，而与元素的 　　值无关？ 3．证明（2.9）式． 4．证明（2.12）式． 第二节 行列式性质与展开定理 　　从上节可知，当较大时，由阶行列式的定义计算行列式（除某些特殊行列式外）是非常繁琐的．本节所介绍的行列式的性质及行列式展开定理，不仅能大大简化行列式的计算，对行列式的理论研究也有重要意义． 一、行列式的性质 　　定义5 设阶行列式，将中的行与列互换，所得到的阶行列式称为的转置行列式，记为，即． 性质1 行列式与其转置行列式的值相等． 　　证 对行列式的阶数用数学归纳法．对二阶行列式，结论显然成立．设阶数为时结论成立，当阶数为时，令，设．由（2.6