第九章多元函数.doc

第九章 多元函数微分学 上册中，我们研究的函数是仅依赖于一个自变量的函数，这种函数称为一元函数．但在许多实际问题中，会涉及到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情况，由此引入多元函数以及多元函数的微积分问题．本章将在一元函数基础之上讨论多元函数的微分法及其应用．从一元函数到二元函数，在内容和方法上都会出现一些实质性的差别，而多元函数之间差异不大，因此讨论多元函数时，将以二元函数为主． §9.1 多元函数的基本概念 一、平面区域的概念 讨论一元函数时，经常用到邻域和区间概念，由于讨论多元函数的需要，我们首先把它们加以推广，同时还要引入平面点集一些其他概念． 记． 邻域：设，为一正数， 与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记作， 也就是 ． 在几何上表示一个以为圆心、为半径的圆内部的点的全体． 中除去点后所剩部分，称为点的去心邻域，记作． 如果不需要强调邻域的半径时，则可用表示点的某个邻域．点某个去心邻域记作． 下面利用邻域来描述点和点集之间的关系． 设为平面上任一点（），是一平面点集（），则与有以下三种关系: (1) 内点：若存在点的某一邻域使得，则称是的内点； (2) 外点：若存在点的某一邻域使得， 则称为的外点； (3) 边界点：若点的的任一邻域内，既含有属于的点，又含有不属于的点，则称为的边界点． 的边界点的全体称为的边界． 如图9-1-1 的内点，为的外点， 为的边界点． 从上述定义及图9-1-1可知的内点必定属于；的外点必不属于；而的边界点可能属于，也可能不属于．的任何邻域中都有无穷多个点属于点集，则称为的一个聚点．聚点本身可能属于，也可能不属于．的内点必是聚点．边界点可能是聚点，也可能不是． 例如， 点集，的点都是的内点; 满足的点均为的边界点， 它们都属于;满足的点也 均为的边界点，但它们都不属于．的边 界是圆周和上的点的全体(图9-1-2)． 开集： 若的每一点都是它的内点，则称为开集； 闭集： 开集加上它的边界称为闭集； 连通集： 若内的任何两点，都可以用中的折线连结起来，则称为连通集； 开区域： 连通的开集称为开区域(或区域)； 闭区域： 开区域和它的边界一起称为闭区域； 有界集： 如果存在常数，，为有界集，否则称为无界集． 例如，和均是面中的开区域; 和均是面中的闭区域；而且 为无界闭区域， 为有界开区域． 二、多元函数的概念 在很多自然现象以及工程实际问题中经常会遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下： 例1 ，体积和绝对温度之间具有关系，其中为常数，当、在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定． 设是、并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系 当、在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定． 这些例子它们的具体意义虽各不相同，但它们确有共同的性质，即都涉及一个变量与其它多个变量之间的依赖关系，抽取其共性，可以得到多元函数的概念．首先定义二元函数． 定义1是非空子集，如果对于每个点，变量按照一定的法则总 有确定的值和它对应，则称变量是变量的二元函数（或点的函数），记为 （或） 称为函数的定义域，称为自变量，称为因变量， 称为函数的值域． 函数在点处的函数值记为或． 类似的可以定义三元函数以及三元以上的函数．一般地，把定义1中的平面点集换成维空间内的点集，则可类似的定义元函数．元函数也可简记为，这里的，当时，就是一元函数，当时，称为多元函数． 对给定的一个二元函数，则其定义域也相应给定．如果是从实际问题中建立一个二元函数，则该函数的自变量有着实际意义，其取值范围要符合实际．如果是用解析式表示的函数，它的定义域就是使解析式中运算有意义的自变量取值点的全体． 例3 Cobb-Douglas生产函数为，这里表示生产量，分别表示劳动力和资本数量，其中为常数，是参数（），． 例4 的定义域，并作出定义域的示意图． 解 要使函数有意义，必须要 即 故函数的定义域为 的图形如图9-1-3． 例5 的定义域． 并作出定义域的示意图． 解 要使函数有意义，必须要 故函数的定义域为 ． 的图形如图9-1-4． 设是定义在区域上的二元函数， 点集称为二元函数的 图形． 二元函数的图形通常是空间的一张曲面 (图9-1-5)． 就是该曲面在面的投影． 例如， 二元函数的图形是一张平面，它的定义域是整个平面．二元函数的图形是以原点为中心，半径